例題 154 三角方程式の解法(和と積の公式利用)
ate
254
KOsost のとき,次の方程式を解け。
25
cos 20+cos 30+cos 40=0
2倍角,3倍角の公式を利用し, cos@ の4次方程式にして解くのは計算が大変(
2=30 に着目 して, 第1項と第3項の和を積の形に直すと、第て環、
■基本
三食
指針
照)。そこで、
20+40
2
(8+A)
の共通因数が現れる。
asiné
Aaie
三角関数の和やれ
rsin (
CHART」
1 2項ずつ組み合わせる 2 共通因数の発見
cos0=x とおくと
別解
cos 40=cos 2·20
本
解答(左辺)= (cos40+cos20)+cos30
T 15
証明
40-20
COS
+cos30 - =
2
=2cos'20-1
40+20
=2cos
2
+Aia)3DDai+&n-2(2x°-1}-1
よって,左辺は
2x?-1-3x+4x
日+A+2(2x-1)?-1
=8x*+4x°-6x°-3x
=2cos 30cos 0+cos30
(+A)e+(日ate土
=cos 30(2cos0+1)
よって,与えられた方程式は
cos 30(2cos 0+1)=0
Coa 97
8+A=x(2x+1)(4x°-3)
ゆえに,方程式は
1
cos 30=0 またはScos0=
2
S.
x(2x+1)(4x-3)=0
+したがって
ゆえに
0S0ST から
0S30<3π
200S
a00
この範囲で cos 30=0 を解くと
6800-(0
x=0, -
200 すなわち
13
Icos 2?
1
土
2
30=27, 2"
A
200g
π
3
5
2'2
( 2~)
0g
S
A cos 0=0,
土
13
5
ーT
6'2'6
よって
0=-
π
π
20)
2?」
2
0<0ST の範囲でこれを
0S0ST の範囲で cos0=
解くと
1
を解くと
2
0=x
2
π
3
2
5
6' 2' 3
67
π
したがって,求める解は
リ=
(大研度
2
つ日AA
0=エ
5
6'237, 67
ie +le0 (1)
の公
