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2変数
重要例題 83
yの関数 P=x°+3y*+4x-6y+2 の最小値を求めよ。
19)x. ソの関数Q=x*-6xy+10y?-2x+2y+2の最小値を求めよ。 )
お(1).(2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。
基本 73
(豊橋技科大)
や社>(1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。
2章
このようなときは, 次のように考えるとよい。
x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする)を定数と考えて, Pをまずxの
2次式とみる。そして, Pを基本形a(x-p)+qに変形。
2 残ったq(yの2次式)も, 基本形 6(yーr)+sに変形。
3 P=aX°+bY?+s (a>0. b>0, sは定数)の形。
→PはX=Y=0のとき最小値sをとる。
(2) xy の項があるが, 方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}?+d(y-r) +sの形に変形。
10
1
1
AN
大阪 の
CHART
条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理
解答
(1) P=x°+4x+3y?-6y+2
=(x+2)?-22+3y?-6y+2
=(x+2)°+3(y-1)?-3-13-2
=(x+2)°+3(y-1)°-5
x, yは実数であるから
よって,Pはx+2=0, y-1=0のとき最小となる。
x=-2, y=1のとき最小値 -5
(2) Q=x?-2(3y+1)x+10y?+2y+2
={x-(3y+1)}"-(3y+1)°+10y°+2y+2
={x-(3y+1)}+y?-4y+1
={x-(3y+1)}?+(y-2)-22+1
=(x-(3y+1)}°+(y-2)?-3
x, yは実数であるから
よって,Qはx-(3y+1)=0, y-2=0 のとき最小となる。
x-(3y+1)=0, ソ-2=0を解くと
x=7, y=2のとき最小値 -3
まず,xについて基本形に。
次に,yについて基本形に。
(x+2)20. (y-1)"20
AP=aX?+bY2+sの形。
(実数)20
(x+2=0, yー1=0 を解く
x=-2, y=1
と
ゆえに
Ax+●x+■の形に。
まず,x について基本形に。
次に,yについて基本形に。
AQ=aX°+bY2+sの形。
x-(3y+1) も実数。
{xー(3y+1)}?z0, (y-2)°z0
最小値をとるx, yの値は,
連立方程式 の解。
x=7, y=2
ゆえに
2次関数の最大最小と対
