⑵の問題で、なぜF'（θ）＝0となるsinθの値をまた使っているんですか？

2 微分法 51 極値をとるxの値を文字でおく (1) AB=AC= 1, ∠A=20 である三角形ABCの内接円の半径rを で表せ. 多く (2) が0の範囲を動くとき, rを最大にする0の値をαとす る. sinα を求めよ. (解答 PM=sinA AM=cosAである (岐阜大)

次の問題で何故青線の下から微分して増減表で解いていくのかがよく分かりませんどなたか解説お願いします🙇‍♂️

a≧0とする。 関数f(a) = lx(x-a)|dx の最小値,およびそのとき のαの値を求めよ。 思考プロセス 《ReAction 「f(x) の定積分は,f(x) の符号で区間を分けよ 例題246) 場合に分ける fx(x-2)dx は,面積で考える。 (ア) x=α が区間 0≦x≦1に含まれる (イ) x = α が区間 0≦x≦1に含まれない 解 (ア) 0≦α <1のとき f(a) = ft-x(x-a)}dx+x(xa)dx (イ) 3▲ 1 a x y=|x(x-a)| JO = (a- [13 23. = 1 Q3 1 1 a+ 2 3 YA y=|x(x-a)| a このとき f'(a) = a² f'(α) = 0 とおくと √2 12 O 1 a² = より 2 2 a 0 1 2 2 a = よって α = ± 2 f' (a) 0 + 2 よって, a≧0 において 1 f(a) 2-√2 12 > 増減表は右のようになる。 3 6 (イ) α ≧ 1 のとき f(a)=f(x(x-a)}dx = 3 a 1 3 2 (ア)(イ)より, y=f(a) のグラフ は右の図のようになるから, y=x(x-a)| =/ YA √2 N 2 + 12 4 3 1 √2 3 6 1 a 2-√2 6 憺) 2 (4) 1 2 2 + 1 3 √2 y=f(a) 1 f(a) は a= のとき 2 2-26 6 2 √2 0 最小値 6 W21 2 a

次の問題で何故青線のところはこの先考えていかないのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

- 232 不等式 - 4μx + 6a² + 9 ≧ 0 がすべての実数xに対して成り立つような定数αの値の範囲を 求めよ。 f(x)=x^-4ax +6 +9 とおくと f'(x) =4x3-4a =4(x-a)(x2+ax +α) f'(x) = 0 とおくと x=a よって, f(x) の増減表は右のようになる。 増減表より, x=αのときf(x) は最小と なるから, f(x) ≧0 がすべての実数xで 成り立つための条件は f(a) ≥0 X f'(x) f(x) ここで f(a)=α-4α + 6a² + 9 = -3a²+6a²+9 よって -3a4+6a²+9≥0 すなわち a-2a2-30 (a²-3)(a²+1)≤0 +1>0より a2-3≤0 ゆえに -√3 mas√3 したがって, 求めるαの値の範囲は - x² + ax + a² a 3 − ( x + 2²)² + ² ²² 20 =(x+1/2 0 のときは 4 -a² f'(x) = 4x3 となり, x=0 (=α) のとき最小 値となる。 a 0 + a = 極小 両辺を-3で割ったか ら, 不等号の向きが変わ る。

増減表の符号がなぜこのようになるのか分かりません。

異なる実数解の個数は 1個 00: (4) 関数 y=3x4x3+1 について y'=12x-12x2=12x2(x-1)(x) y'=0 とすると x=0,1 の増減表は次のようになる。 &T 0< よって、 x 0 1 *** y' - なる。 求める y このグラスを事線 0 + 1 0 7 0 - 024 3/8+50=(2)9

カッコで囲っている部分がよく分からないので、詳しく解説していただきたいです

= 3+. 12 k 0 y= f(a) B 32 -B29 (2)(1)の結果において, Sをαの関数とみなし, S=S(α) とすると 2 S' (a) = -a³ + Ba²-18=-(4a³-6Ba² + B³) S=1/12 (24-B)(22-2Ba-B2)」(2点) ここで,f(a)=22-2βα-β2 とすると f(a)=2(a-2)²-3ẞ² 0<α <βの範囲における y=f(α) のグラフは, 右の図の実線部分のようになり、この範囲において, f(α) < 0 である。』 (4点) よって, S'(α) の符号と 2α-βの符号は一致するこ とに注意すると,0 <α <βにおけるS(α) の増減表は, 次のようになる。 B a 0 S' (a) - 1820 ... B + S(a) ▼ 極小 > よって、(a)はα = 1/12 のときに最小となる。』(4点) 32

次の226の問題の(3)の言いたいことは(2)で曲線との接線を求めていてその接線は二点で通るのでそのまま(2)の答えのxの係数を答えとしている感じなのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

したがって, 求める接線の方程式は, ①に代入すると y = 0, y = 8x-12,y= 1 3 16 x- 9 32 とおくと 2 (3)ー= - ･･･ ②の実数解の個数は y=x-x.③の 2±√2 6 グラフと直線y=d(x-2)…･･ ④ の共有点の個数に一致する。 ④は点 点 (1/2, 0)を通り, 2-√2 6 グラフより ③と④が接するとき ③と④ 傾きの直線である。 は接点以外の共有点を1つもつから, 方程式 11/12 のとき,(1-3k) 最大値が であるから 2 Ok≦ k = 1± 1 4 1 (2)土 = 0<k≦ より k = 4 = <k<1 のとき, 4 1/12 とおくと 8k-1=0 (2k 1)(4k²+2k+1)=0 kは実数であるから k = 1 2 これは 1/24 <k<1を満たしている。 2-√2 1 したがって, 最大値が となるkの値は k= 2 6 2 ②は異なる2つの実数解をもつ。 したがって, 求めるαの値は a=0, 3 16' 8 227 3つの実数a, b, c (as b≦c) が a+b+c=-1, ab+be+ca=-5 を満たす。 次の値の とり得る範囲を求めよ。 226 (1) 関数 y=xxのグラフをかけ。 (2)曲線 y=xxの接線で,点 (12,0)を通るものをすべて求めよ。 (3)の3次方程式 ー=d(x-2) の異なる実数解の個数が2個であるような定数aの値 を求めよ。 (1) y'=3x²-2x=x(3x-2) abc を解とする3次方程式を作る。 (1) abc (2) a (1) abc = k とおくと, a, b, cは x+x2-5x-k=0 ... ① の3つの実数解である。 3次方程式 ax+bx+c=0 の3つの解をα By と すると 与えられた条件から、解と係数の関係を利用して、he を解とする3次方程式は -(a+b+c)+(ab-le-cola-ale-0 2 y=0 とおくと x=0, つまり、 と表せる。 beabo 3 ここでバーナー とおく。 よって, yの増減表は次のようになる。 2 x 0 3 0 [V + 0 - 0 + 4 y > 0 27 したがって, グラフは右の図。 (2) 接点をT(t, ピード) とおくと, Tにおける接線の方程式は y-(13-12) (312-21)(x-1) y=(31-21)x-21°+1 ... 1 これが点 (120) を通るから 1x = -1/2 のとき 方程式 ① は x3 + x2-5x=k f(x)=x+x5x とおくと, 方程式 ① の実数解の個数と曲線 y=f(x) と直線y=kの共有点の個数は一致する。 ここで f(x)=3x+2x-5 b a+β+r=- a C aβ+βr+ra= a =(x-1)(3x+5) 5 x 1 d f (x) = 0 とおくと 3 aβr= 5 f'(x)+ 0 0 + x=- 1 3' 175 f(x) > -3 よって, f(x) の増減表は右のよ うになる。 27 (ア) -3 <k< ー () () 175 27 175 のとき, 異なる3つの実数解をもつ。 8 4 4 27 27 9 27 (K) k=-3, それと異なる1つの実数解をもつ。 のとき、 実数の重解と YA y=f(x) J175 27 175 -3<k< のときは 27 3点で交わるから異なる 3つの実数解をもつ。 k=-3, 175 のときは 27 ty'=3x²-2x より 接線 の傾きは 32t (ウ) k-3, 175 27 y=k くんのとき、1つの実 1点で接して, 1点で交わ るから重解とそれと異な 3. 0 = (312-21)-213 +12 46-116°+6t=0 数解と2つの虚数解 (2つの互いに共役 な複素数解)をもつ。 0 1つの実数解をもつ。 y=k k<-3, (ア)~(ウ)より, abc がとり得る値の範囲は 175 -3 y=k 175 27 くんのとき t(t-2)(4t-3)=0 3 よって t = 0, 2, 4 t(4t2-11t+6)=0 t(t-2)(4t-3)=0 -3 abc ≤ 27 は1点で交わるから、 1つ の実数解と2つの虚数解 をもつ。

次の問題で青線の範囲はどこからきているのもなのでしょうかどなたか解説お願いします🙇‍♂️

225kを0<< 1 である実数とする。 関数 f(x)=x(x-3k) の 0≦x≦1 における最大値を求 めよ。 また、 最大値が であるとき,kの値を求めよ。 2 f(x)=x(x-3k)2=x-6kx+9kx f'(x) =3x-12kx+9k=3(x-k)(x-3k) f'(x) = 0 とおくと x=k, 3k (7)ok< 21/3のとき f(x) の増減表は次のようになる。 x 0 k 3k 1 f'(x) + 0 - 0 + 4k3 0 (1-3k)2 ここで f(x) 0 f(k)-f(1) = 4k- (1-3k) = 4k3-9k2+6k-1 =(k-1)(4k-1) よって, 最大値は (i) <k< 21/12 のとき 4 f(k)-f(1) <0 より 4k < (1-3k) であるから x=1のとき 最大値 (1-3k)2 x=k, 1のときのf ( の値を比べる。 14-9 6 +) 4-5 4-5 1 であるから - 4k3-9k²+6k-1 =(k-1)(4k²-5k+1 =(k-1)(k-1) (4k- (ii)k= のとき 4 f(k)-f(1) = 0 より, 4k = (1-3k) であるから x=k, 1のとき 最大値 1/1 << 1/3のとき 1 16 f(k)-f(1)>0より, 4k> (1-3k であるから x=kのとき 最大値 4k (イ) (1)/1/3 ≤ん<1のとき f(x) の増減表は次のようになる。 x 0 ... k .... 1 f'(x) + 0 - =(k-1)^(4k-1) f(x) 0 7 4k³ よって, x=kのとき したがって, (ア)(イ)より (1-3k)² 最大値 4k <k のとき 最大値 (1-3k)2 (ア) (i), (ii) がまとまる。 <<1のとき最大値 4k (ア) (iii), (イ) がまとまる。 4

33番です 解説を見てもよく分かりません、 教えてください🙇⋱

33次の() f(x)が逆関数をもてばそれを求め, 逆関数をもたなければその理由を述べよ。 (1) f(x)=x (2) f(x)=2x² (3) f(x)=1 (4) f(x)=2x3+3x2-12x +1 (X (B+x)) 第第3 (1)

次の問題で青線の範囲がよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

224 関数 f(x)=-x+12x+7のt-1≦x≦t+1 における最大値を求めよ。 f'(x) = -3x² +12 = - -3(x+2)(x-2) f'(x) = 0 とおくと x=2,2 YA よって, f(x) の増減表は次のようになる。 23 X ... -2 2 ... f'(x) 0 + 0 f(x) -9 > 23 7 ・2 02 -9 ゆえに,y=f(x) のグラフは右の図。 ここで,f(t-1)=f(t+1) となるtの値は -(t-1)+12(t-1)+7 = -(t+1) +12 (t + 1) + 7 整理すると 3-11=0 よって t = ± √33 3 グラフより最大値がf(t-1)=f(t+1) とな るtの値は √33 t = 3 (ア) t- √33 のとき 3 f(x) は区間の左端で最大となり,その値は f(t-1)=-(t-1)+12(t-1)+7 = t+3t°+9t-4 (イ) N 33 ≦t<1のとき 3 f(x) は区間の右端で最大となり,その値は f(t+1)= -(t+ 1) + 12(t + 1) +7 =-13-312+9t+18 23 t+1 -2 t-1- 02 -9 t+1 10 X t-1 7 t+1 O x √33 at= のときは、最小 3 値がf(t-1)=f(t+1) となるときである。 (ウ) 1≦t<3のとき 区間 t-1≦x≦t+1 に 23 f(x) は x=2で最大となり,その値は x=2 が含まれるとき f(2) = 23 t-1 02 (エ) 3≦t のとき f(x) は区間の左端で最大となり,その値は f(t-1) = -t + 3t + 9t -4 (ア)~(エ)より, f (x) の最大値は t+1 O x t-1 /33 t<- 3≦t のとき -t + 3t° + 9t-4 3 33 ≦t < 1 のとき - t-3t° + 9t + 18 3 1≦t<3 のとき 23 x=t-1のときに最大値 をとる (ア), (エ)の場合をま とめる。

次の問題ぽ青線はどの様に考えて場合分けしているのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

223 関数 f(x) = x-6x2+9x-12-t≦x≦2+t における最大値と最小値を求めよ。 ただし, t> 0 とする。 f'(x) = 3x-12x+9=3(x-1)(x-3) f'(x) = 0 とおくと x=1,3 よって, f(x) の増減表は次のようになる。 YA 3 x 1 3 f'(x) + 0 - 0 + f(x)|7 3 -1|> 0 1 -1 ゆえに, y=f(x) のグラフは右の図。 また f(0) = -1 = f(3), f(1)=3= f(4) (ア) 0 <t < 1 のとき 3 2+t 13 0 11 3- 2-t x YA 2+t x=2-t のとき 最大値 f(2-t) = (2-t)³ −6(2− t)²+9(2− t) — 1 =-t+3t+1 x=2+t のとき 最小値 f(2+t) = (2+t)-6(2+t) +9(2+t) -1 =t-3t+1 (イ)_1≦t< 2 のとき x=1のとき 最大値 3 x=3のとき 最小値 -1 (ウ) t≧2 のとき x = 2+t のとき 最大値 f(2+t) =t-3t+1 x=2-t のとき 最小値 f(2-t) = -t + 3t + 1 a 3 -1 f(1)=13-6.12 +9・1-1=3 f (3) =33-6.32 +9・3-1 = x-6x2+9x-1=3 を変形すると (x-1)(x2-5x+4) = 0 (x-1)(x-1)(x-4)= よって x=1,4 3 01 x 2-t y 3 2-t 3 4' x 2+t