Question

星光

次の問題で青線の範囲はどこからきているのもなのでしょうかどなたか解説お願いします🙇‍♂️

225kを0<< 1 である実数とする。 関数 f(x)=x(x-3k) の 0≦x≦1 における最大値を求
めよ。 また、 最大値が であるとき,kの値を求めよ。
2
f(x)=x(x-3k)2=x-6kx+9kx
f'(x) =3x-12kx+9k=3(x-k)(x-3k)
f'(x) = 0 とおくと
x=k, 3k
(7)ok< 21/3のとき
f(x) の増減表は次のようになる。
x
0
k
3k
1
f'(x)
+
0
-
0
+
4k3
0
(1-3k)2
ここで
f(x) 0
f(k)-f(1) = 4k- (1-3k)
= 4k3-9k2+6k-1
=(k-1)(4k-1)
よって, 最大値は
(i) <k< 21/12 のとき
4
f(k)-f(1) <0 より 4k < (1-3k) であるから
x=1のとき 最大値 (1-3k)2
x=k, 1のときのf (
の値を比べる。
14-9 6
+) 4-5
4-5 1
であるから
-
4k3-9k²+6k-1
=(k-1)(4k²-5k+1
=(k-1)(k-1) (4k-
(ii)k= のとき
4
f(k)-f(1) = 0 より, 4k = (1-3k) であるから
x=k, 1のとき 最大値
1/1 << 1/3のとき
1
16
f(k)-f(1)>0より, 4k> (1-3k であるから
x=kのとき 最大値 4k
(イ)
(1)/1/3
≤ん<1のとき
f(x) の増減表は次のようになる。
x
0
...
k
....
1
f'(x)
+ 0
-
=(k-1)^(4k-1)
f(x) 0 7 4k³
よって, x=kのとき
したがって, (ア)(イ)より
(1-3k)²
最大値 4k
<k
のとき 最大値 (1-3k)2
(ア) (i), (ii) がまとまる。
<<1のとき最大値 4k
(ア) (iii), (イ) がまとまる。
4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

解がx＝k,3kであり、0≦x≦1だから、
(ア)3kが1を超えない範囲か(イ)超える範囲かで分けられている。

(ア)3k＜1なら0＜k＜1/3となり、2解が0≦x≦1の範囲内になる。
(イ)(ア)の範囲内にkが無いなら、3kがx＝1を超えるため、x＝kだけが0≦x≦1になる。

そのための場合分けである🙇

星光

有り難う御座います！