基本20
重
62
基本 例題31
2つの無限等比級数の和
①①
無限級数 (1-1/2)+(1/2-2/21)+(1/3/3-2/17)+
+...... の和を求めよ。
p.54 基本事項
CHART & SOLUTION
無限級数 まず部分和 Sm
nom
この数列の各項は()でくくられた部分である。 部分和 Sm は有限であるから,頃の順序
を変えて和を求めてよい。
[注意] 無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない (重要例題 32 参照)。
別解 無限級数 Σan, 20m がともに収束するとき
n=1
n=1
(a+b)=an+26m が成り立つことを利用。
n=1
n=1
n=1
解答
初項から第n項までの部分和を Sn とすると
Sn=(1+1/+1/28++g/1)-(12/2+2/23+
......+
1-(1/1)/1-(1/2)"}
+...+
2n
2/2/2)
Sは有限個の和であ
から、左のように
変えて計算しても
3
1
1
1-
1
3
20
3
lim Sn
1-2
n→∞
別解
n=1
00
S=1221-1-1/2 であるから,求める和は
(1-1/2)+(1/3-2/2)+(3/2-2/23)+
00
n=1
1
3n-1
2n
1 は初項 1. 公比 1/3の無限等比級数であり、
3n-
2/1/17は初項 1/12公比 1/12 の無限等比級数である。
<1
公について/12/1 であるから,これらの無
限級数はともに収束して, それぞれの和は
-0+0=
(
n→∞のとき
0,
[inf.]
無限等比級数の収束
α=0 または |r|<]
このときは
1-
◆収束を確認する
8
1
1
3
00
=
2
3n-1
n=13
=
1
2'
1
n=1 2n
=1
3
1-
2
00
よって
1
3
2n-1
n=1
2"
-1=
PRACTICE 31°
次の無限級数の和を求めよ。
(1)(1+1/+1/+1)+(1/+1)+
23
+...
32 33
2
(2) 33-2, 3-2 3-2
