Question

ピータークラウチ

31と32の解き方の違いを教えて下さい🙇‍♀️

基本20
重
62
基本 例題31
2つの無限等比級数の和
①①
無限級数 (1-1/2)+(1/2-2/21)+(1/3/3-2/17)+
+...... の和を求めよ。
p.54 基本事項
CHART & SOLUTION
無限級数 まず部分和 Sm
nom
この数列の各項は()でくくられた部分である。 部分和 Sm は有限であるから,頃の順序
を変えて和を求めてよい。
[注意] 無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない (重要例題 32 参照)。
別解 無限級数 Σan, 20m がともに収束するとき
n=1
n=1
(a+b)=an+26m が成り立つことを利用。
n=1
n=1
n=1
解答
初項から第n項までの部分和を Sn とすると
Sn=(1+1/+1/28++g/1)-(12/2+2/23+
......+
1-(1/1)/1-(1/2)"}
+...+
2n
2/2/2)
Sは有限個の和であ
から、左のように
変えて計算しても
3
1
1
1-
1
3
20
3
lim Sn
1-2
n→∞
別解
n=1
00
S=1221-1-1/2 であるから,求める和は
(1-1/2)+(1/3-2/2)+(3/2-2/23)+
00
n=1
1
3n-1
2n
1 は初項 1. 公比 1/3の無限等比級数であり、
3n-
2/1/17は初項 1/12公比 1/12 の無限等比級数である。
<1
公について/12/1 であるから,これらの無
限級数はともに収束して, それぞれの和は
-0+0=
(
n→∞のとき
0,
[inf.]
無限等比級数の収束
α=0 または |r|<]
このときは
1-
◆収束を確認する
8
1
1
3
00
=
2
3n-1
n=13
=
1
2'
1
n=1 2n
=1
3
1-
2
00
よって
1
3
2n-1
n=1
2"
-1=
PRACTICE 31°
次の無限級数の和を求めよ。
(1)(1+1/+1/+1)+(1/+1)+
23
+...
32 33
2
(2) 33-2, 3-2 3-2

4. 基本 2
重要 例題 32
部分和 S27-1, S2n を考える事
"
無限級数 1-
1
1
1
+
1
+
3 2 32 22 33
1
+･･････ の和を求めよ。
基本 31
CHART & THINKING
頃の順序
」である
二順序を
●よい。
→0
無限級数 まず部分和 S
基本例題 31 と同じと考えて,第n項を(23) とし,和Sを
右のように求めてはいけない。ここでは,()がついていないから,
やはり, S” を求めて→∞の方針で解く。 ところが,Sは奇
数項までと偶数項までで異なるから の式では1通りに表されない。
S=
2
13
13
よって、 Szn-1, S27 の場合に分けて調べる。 S27-1 は S27 を用いて表すことを考えよう。
[1] lim Szn-1= limS2=S ならば limS=S
n→∞
n→∞0
[2] lim S2-1≠lim Szn ならば{S} は発散
解答
7218
12-00
無限級数の計算では、勝手に)でくくったり、 項の順序を変えてはならない!
この無限級数の第n項までの部分和をSとする。
2章
San=1-1/3+/-/3/3+/12/28-133
1
1
2n-1
3n
=(1+1/+12/23+
←部分和 (有限個の和) な
ら()でくくってよい。
++
1
2n-1
1
◆初項 1,公比 1/2の等比数
列の和。
3
1 1
+ + +･･････+
n
32 33
1-(1/1) 1/11(1/3)
1212
1
3n
無
限
級
数
3'
3
数列の和。
3n
1
| limon=
-=0, lim
-=0
n→∞
1
8
3
よってlim Sun=2-12-1272
3
n→∞
また
n→∞
lim S21-1-lim(San+3)=
n18
n→∞
3
2
=lim (S2n+ 1) = lim San+ lim
=
n→∞
3n
n→∞
lim S2n=lim S2n-1= であるから,求める和は
lim S2n S2n-1=S2n-a2n
3-2
=S2n
3n
{2}も
1
3n
も収束する。
linf.
この例題の無限級数a+bi+a2+b2+....+a+b+…………… の和は,無限級数
(a+b)+(a2+b2)+....+(a+b)+... の和と同じ結果になる。 結果が異なる場合に
ついては,PRACTICE 32 の解答編の inf. や EXERCISES 30 を参照。
③
PRACTICE 32 3
次の無限級数の和を求めよ。
m
(2)

無限級数の和の求め方

Answer 1

あ

無限級数は足す組み合わせでいくらでも変わってしまうから勝手に括弧を付けるのはなしです。
左の場合は最初から()で各項が定められているので、
無限級数がそれぞれ収束する場合は定数倍の足し引きが許されるという解法で計算することができます。
右の場合は、ラストの項が奇数で終わるか、偶数で終わるかで変わってきます。よって奇数番で終わる場合と偶数番で終わる場合に分けて考えます。それぞれが収束し、和が等しくなれば元の無限級数も収束し、和が求めたものになります。
無限級数の場合は勝手に計算の順序を決めてはいけませんが、部分和の場合は有限なので問題ありません。