420 第10章 複素数平面
練習問題 6
が実数となるような最小の自然数nの値を求めよ.
Jmies+
精講
極形式で表してから, 累乗計算をしてみましょう. ドモアブルの
定理は、nが負のときでも使えます. 複素数が実数であるかどうか
は、 「偏角」に注目すればわかります。
√√3-i √3 1
2
2
2
=cos-
3-i
2
+isin
解答
y1
0
12
2
<<-n
+isin
=cos{-mx-m)}+isin-x(-)
cosm+isin
nл
・①
6
T
6
2
|3|
ド・モアブル
この定理
n=1,2,3,4,
TC
において, ①の絶対値は1,偏角は
2π 3π 4π
6'6'6'6'
n=3
4
n=2
n=5
n=1
となるので, 複素数の列
を
n=6
図示すると、右のようになる.
-1
0
I
この図より、はじめて実数が現れるのは,
実数
n=6
のときである.
(実数は実軸(z軸) 上の点
複素数の列は平面上の
コメント
「点」 の列となる
一般に, 複素数が実数となるのは
(偏角) =π× (整数) 0. 土π, 土2π...
のときです. この問題においては
nπ
6
=mπn=6m (mは整数)
ですからんが6の倍数のときに, ①は実数となります。 これを満たす最小の
自然数は, n=6です.
