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重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が
等式
次の条件を満たす整数の組 (a1, A2, A3, 4, α5) の個数を求めよ。
(1)0<a<az<a<a<a<9 +
0000
(2) 0≤aa2a3 a4 a5≤3 O
8の8個の数字から異なるこ
(3) a1+aztas+a+Qs≦3, ai≧0 ( 2, 3, 45) X
合わせても相野べて煮なるから、1.2... 8
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ような解き方
a,a2,
α5 を対応させればよい。
指針
(1)
個を選び, 小さい順に α1, A2,
→
求める個数は組合せ C5 に一致する。
11ff112
ex.)
○+△+=9
Hr
重複は許さない
まだ
基本 32
(2)(1) とは違って、条件の式に≦を含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許
して5個を選び, 小さい順に α1, A2, ....., as
→
求める個数は重複組合せ H5 に一致する。
を対応させればよい。
(3)おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。
3-(a+a2+as+α+α5) =bとおくと
また, a1+a2+αs+a+α5≦3から
a+a2+as+a+αs+b=3
b≥0
よって,基本例題 33 (1) と同様にして求められる。
8の8個の数字から異なる5個を選び、小検討
α5 とすると,条件を満たす組が
(1)1,2,
.....
さい順に a1, A2,
1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
ついてない
8C5=8C3=56 (個)
(2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び,
小さい順に a1,a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組
が1つ決まる。
よって, 求める組の個数は
4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個)
(3) 3-(a1+a2+α3+α+α5)=bとおくと
I
.. ①
ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 6≧0
和が3以下
○和が0のとき
・和が1のとき
2のとぎ
a1+a2+as+a+a+b=3,
←
一等式
(2),(3)は次のようにして
解くこともできる。
(2)[p.384 検討 PLUS
ONE の方法の利用
bi=aiti(i=1,2,3,
4, 5) とすると, 条件は
0<b<b<b<b<bく
と同値になる。よって
(1)の結果から 56個
+ (3) 3個の○と5個の仕
よって、求める組の個数は, ① を満たす 0 以上の整数の
組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取
る重複組合せの総数に等しく
6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個)
別解 a1+a2+as+a+as=k(k= 0, 1, 2, 3 を満たす 0
以上の整数の組 (a1, 2, 3, 4, α5) の数は5Hkであ
るから 5H0+5H1+5H2+5H3
3のとき
場合の数を
=4Co+5C1+6C2+7C3
=1+5+15+35=56 (個)
切りを並べ、例えば、
|〇||〇〇|| の場
合は (0, 102, 0)
を表すと考える。
このとき
A|B|CD|E|F
とすると, A, B, C,
DE の部分に入る 0
の数をそれぞれ al, an
振り
43, 4, as とすれば、
組が1つ決まるから
8C3-56 (1)
場合の
によ
・代表
・(a)
.27
.
•
10
10
(1
1
Sl
