太郎さんと花子さんは, 次の問題について話している。二人の会話を読んで,下の問いに答えよ。
2021 夏期講習 数学 共通テスト対策
三角関数
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問題 0Sx<2π とする。xについての方程式
U
2cos2x +4cos x+a-2=0
020
の実数解の個数を求めなさい。
0
太郎:実数解の個数の調べ方は2次関数のときにやったね。 グラフを使って共有点の
個数を実数解の個数と比較すればいいんよね。心
花子:方程式①を変形して,-2cos2x-4cosx +2=aとすれば, 2つの関数
ソ=-2cos 2x -4cosx +2 とy=aのグラフの共有点の個数から実数解の個数を
調べることができるわね。
太郎:さすが花子さん。でも僕は y=-2cos2x ー4cosx+2 のグラフをかけないよ。
花子:そうね, このままではかけないから, cosx=t とすれば,
0=
- 4cosx +2==ー|
4
9
-2cos2x-
ア
イ
t+
ウ
と変形できるわね。
9
ア
--②のグラフならかけるでしょ。
ソ=ー
イ
t+
ウ
太郎:このグラフなら僕もかけるよ。上に凸の放物線で, 頂点の座標は
エオ
9
キ
になるね。
カ
2
5
9
S f201
y=a のグラフと②のグラフの共有点を調べると,a=
キ
x20 -(1- 201
のときは1個で,
x20ト-3820o
のときは2個だから, 方程式①の実数解の個数も同じだよね。
花子:ちょっと待って。 tの値の範囲を考えないといけないわ。 t=cosx で, 0Sx<2x
00000ー%3
a<
キ
,200
だから,tの値の範囲は ク3よね。 このこともふまえると, y=aのグラフと②
o
のグラフの共有点の個数は,
S
a=| シトのときは1個で,
ケコSa< サ
サSa< シ
のときは2個だ思うの。
203.5tit
太郎:でも,tについての方程式ではなくて, xについての方程式①の解の個数を求めたい
のだから,tの値を求めたときにxはどうなるか, 考えないといけない気がするな。
花子:そうね。t=cosx だから,t=|スセ,
ソ
のときはそれぞれの tの値に対し
-1
個で,それ以外のときは チ個あるわね。
てxの値は タ
1
