Question

mochi

(4)の問題で、(答えは(3)のところにあります) a=4のとき解がなぜ3こになるのかがわかりません…

太郎さんと花子さんは, 次の問題について話している。二人の会話を読んで,下の問いに答えよ。
2021 夏期講習 数学 共通テスト対策
三角関数
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問題 0Sx<2π とする。xについての方程式
U
2cos2x +4cos x+a-2=0
020
の実数解の個数を求めなさい。
0
太郎:実数解の個数の調べ方は2次関数のときにやったね。 グラフを使って共有点の
個数を実数解の個数と比較すればいいんよね。心
花子:方程式①を変形して,-2cos2x-4cosx +2=aとすれば, 2つの関数
ソ=-2cos 2x -4cosx +2 とy=aのグラフの共有点の個数から実数解の個数を
調べることができるわね。
太郎:さすが花子さん。でも僕は y=-2cos2x ー4cosx+2 のグラフをかけないよ。
花子:そうね, このままではかけないから, cosx=t とすれば,
0=
- 4cosx +2==ー|
4
9
-2cos2x-
ア
イ
t+
ウ
と変形できるわね。
9
ア
--②のグラフならかけるでしょ。
ソ=ー
イ
t+
ウ
太郎:このグラフなら僕もかけるよ。上に凸の放物線で, 頂点の座標は
エオ
9
キ
になるね。
カ
2
5
9
S f201
y=a のグラフと②のグラフの共有点を調べると,a=
キ
x20 -(1- 201
のときは1個で,
x20ト-3820o
のときは2個だから, 方程式①の実数解の個数も同じだよね。
花子:ちょっと待って。 tの値の範囲を考えないといけないわ。 t=cosx で, 0Sx<2x
00000ー%3
a<
キ
,200
だから,tの値の範囲は ク3よね。 このこともふまえると, y=aのグラフと②
o
のグラフの共有点の個数は,
S
a=| シトのときは1個で,
ケコSa< サ
サSa< シ
のときは2個だ思うの。
203.5tit
太郎:でも,tについての方程式ではなくて, xについての方程式①の解の個数を求めたい
のだから,tの値を求めたときにxはどうなるか, 考えないといけない気がするな。
花子:そうね。t=cosx だから,t=|スセ,
ソ
のときはそれぞれの tの値に対し
-1
個で,それ以外のときは チ個あるわね。
てxの値は タ
1

200SOS
キ
に当てはまる値を求めよ。
ア
as
ク
に当てはまるものを,次の0~ののうちから一つ選べ。
O
-1<t<1
0. -1st<0
@ 0<ts1
0
-1sts1
の
-1st<1
-1Sts0
O
0Sts1
-1<ts1
ケコ
チ
に当てはまる値を求めよ。
(4) 下の0~®の値のうち,方程式①の異なる実数解が2個あるときの aの値は
個あり,
ツ
最小のものは ト
D%=DS+x203
である。また, 方程式①の実数解が3個
S20o
そのうち最大のものは テ
あるようなaの値は
ナ
である。
イ iS S+x80obーS20ss
テ
ト
ナ
に当てはまるものを, ①~⑧のうちかち一つずつ選べ。
S+
トx200-xSe0oS%3 ち すち: 水
ただし、該当するものがない場合は0をマークすること。 な土りままこ :午部
の
S+x200-xS20p8-
0 該当なし
0
a=-6
0
a=-4
の
a=-1
a=0
a=2
9
a=
2
7
6 a=4
の
a=5
4 ニー
2
8

(1) 方程式のを変形した, - 2cos 2x -4cosx +2=aの左辺を yとおいた式を考える。
y=-2cos 2x ー4cosx+2=-2(2cos?x -1)- 4cos x+2= 14cos?x -4cosx+2
1\2
coSx =t とおくと,y=-47t2-4イt+4ウー-4(t2+)+4=-4(t+)
チ>
+5
エオ
よって,(-
5 キ
1 2カ
(2) 0<x<2xのとき, -1<cosx<1 であるから, -1<t<1 (@ ク)
(3) のの放物線とy=aとの交点の個数は -1<tハ1 に注意すると, グラフより
-4 ケSaく4サ,a=5シ のとき1個
4Sa<5のとき2個
ここで, -1<ts1におけるcosx =t の解の個数について考える。
tの値1個に対するxの値の個数は,t=-1スセ,1 ソのとき1ク個
以上より,xの解の個数は
-1<t<1 のとき2チ個
aく-4,5<a のとき0個 2 a=-4のとき1個の
4<a<5のとき4個
a=5,-4<a<4のとき2個 ちSa=4のとき3個
7
したがって,選択肢のうち方程式のの異なる実数解が2個である aの値は, a=-1,0, 2, 5,5 の5”位
2
最大のものはa=5(@),最小のものはa=-1(@ ト)である。
>また,方程式①の異なる実数解が3個である aの値は, a=4(@)である。
石から 0-1, 2. 2. 2, 2.3.4.2 コ