記述でこの解法でも満点もらえますか？

基本 例題 86 2変数関数の最大 最小 (1) (1)x+2y=3のとき, 2x2+y2 の最小値を求めよ。 (2) x≧0、y≧0, 2x+y=8のとき,xyの最大値と最小値を求めよ。 BROHOV 13639077 H 指針 (1) のx+2y=3, (2) の2x+y=8のような問題の前提となる式を条件式という。 4300 CHART 条件式 文字を減らす方針で 変域に注意 条件式がある問題では, 文字を消去する方針で進めるとよい。 (1) 条件式x+2y=3から x=-2y+3 2(-2y+3)^2+y2となり,xが消えて1変数yの2次式になる。 これを2x2+y2に代入すると, →基本形α(y-b) +αに直す方針で解決! (2) 条件式からy=-2x+8としてyを消去する。 ただし、次の点に要注意。 HARI 消去する文字の条件 (y≧0) を,残る文字(x) の条件におき換えておく 解答 (1)x+2y=3から x=-2y+3 ゆえに 2x2+y2=2(-2y+3)^+y²=9y²-24y+18 よって, y= of si-01/28y+(1/4)-9.(14) 2+18=9(y-123) +2 で最小値2をとる。 4 3 このとき, ①から したがって x= 1 3 ...... =-2. 4 3 y=1/30 のとき最小値 2 ① ゆえに x≤4 x=- _2) 2x+y=8 から y=-2x+8 y≧0であるから -2x+8≧0 +3= (1) ...... x≧0との共通範囲は 0≤x≤4 また xy=x(-2x+8)=-2x²+8x =-2(x2-4x+2)+2・22 ...... =-2(x-2)^+8 ②の範囲において,xy は、x=2で最大値8をとり, x = 0, 4で最小値0 をとる。 ①から,xの値に対応したyの値を求めて (x,y)=(2,4) のとき最大値8 (x,y)=(08), (40) のとき最小値 0 <x を消去。y=-x+3 と [熊本商大] して, y を消去すると,分 数が出てくるので,代入後 の計算が面倒。 重要 118 <t=g(y-1/28 ) 2+2のグラフ lt=9 は下に凸で,yの変域は実 数全体頂点で最小。 (x,y)=(1/23 1/28) のよう に表すこともある。 xy=tとおいたときの t=-2(x-2)^+8 (0≦x≦4) のグラフ ta 最大 18-- 最小 O 2 4₁ d 1 最小 練習 (1) 3.x-y=2のとき, 2x2-y2 の最大値を求めよ。 36 (2) x≧0 y≧0,x+2y=1のとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。 x T8 139 18 10 2次関数の最大・最小と決定 3章 10

【2変数関数の最大・最小】 この問題で、x^2+y^2=2で2x+yは2xに数字を大きく比重を置いた方が良さそうなんですが、(つまりx=‪√‬2,y=0)これだとなんで間違いですか？

に取小 をとる。 [08 愛知大] (2) 実数x,yが条件 x2+y2=2 を満たすとき, 2x+yの最大値 最小値を求めよ。 [南山大]

72、73ともに解説を見ても、よく理解できませんでした…💦 どなたか解説をお願いします！

124 重要例題 72 条件つきの最大・最小 (1) x≧0, y≦0,x-2y=3 のとき, x2+y2 の最大値および最小値を求めよ。 ③ 基本60 重要 104 HART [SOLUTION 条件の式 文字を減らす方針でいく 変域にも注意 一見, 2変数x,yの最小問題であるが,条件の式を変形すると x=2y+3 これを x2+y2に代入すると x2+y²=(2y+3)2+y2 となる。 これはyの2次式であるから, 基本形に変形すると最大値と最小値を求められる。 ここで, 消去する文字の条件 (x≧0) を 残す文字 (y) の条件におき換えておくように。 解答 x-2y=3から x=2y+3 ..・・・・ ① x≧0であるから 2y+320 y≤0 との共通範囲は -sy≤0 ...... 2 ① また x2+y²=(2y+3)2+y2 =5y²+12y+9 ② において, ③は =6{(x+1)-(1/4)}+9 = 5(y + 5)² + ³/ y=0 で最大値 9. 6 9 y=-1 で最小値号/ 5 をとる。 ① から y=0 のとき y= のとき したがって, x=3, y = 0) x=¾/²³. よって y2-2 y= 6 5 (3) x=3 x=2(一号) +3=1号/ で最大値 9, 9 で最小値 x2+yin 最大19 最小 をとる。 0 y <消去する文字の条件 (x≧0) を 残す文字 条件 (-2)におき 換えておく。 ① x を消去する。 消去する文字は係数が 1-1のものを選ぶ とよい。 基本形に変形。 infy を消去する場合は x = -1/(x- から x² + y² = x² + (x-3) ² (x-3) (0≤x≤3) となる。 inf. 設問で要求されてい なくても、最大値・最小値 を与えるx,yの値は示し ておくようにしよう。 PRACTICE 72⁰ (1) x+2y=3 のとき, x2+2y2 の最小値を求めよ。 (2) 2x+y=10 (1≦x≦5) のとき, xy の最大値および最小値を求めよ。 〔(2) 常葉学園大] 重要 例題 73 2変数関数の最大・最小 x,yを実数とするとき, x2-4xy+7y²-4y+3 の最小値を求め, そのときの x, yの値を求めよ。 基本 59 CHART & SOLUTION 前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから,この例題のxとyは互 いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず,まず,yを定数と考えて, 式をxの2次関数とみる。 そして 基本形 a(x-p)^+α に変形する。 そして, 更に残った定数項」(yの2次式) も 基本形 b(y-r)'+s に変形する。 ここで、 次の関係を利用する。 実数X, Yについて X'≧0, Y'≧0であるから, 解答 aX+by^+k (a>0, b>0, kは定数)は X = Y = 0 で最小値々をとる。 x 2-4xy+7y"-4y+3 ={(x-2y)-(2y)"}+7y²-4y+3 =(x-2y)'+3y²4y+3 =(x-2y)*+3((号)-(金)+3 =(x-2y)² + 3(y - 3)² +5 x, y は実数であるから (x-2y)¹20, (y-20 したがって, x-2y=0, y- = 0 すなわち x=1/43, y=1/23 で最小値01/23 をとる。 (実数) ≧0 a(x+ey+d)+b(y+e)2+k yを定数と考え, xにつ いて平方完成。 inf x を定数と考えて 平方完成すると次のように なるが、 結果は同じ。 7y²-4(x+1)y+x+3 =7{y_2(x+1) 1² - 4(x+¹)²+x²+3 =1/(7y-2(x+1)}2 POINT 2変数x,yの関数の最小値 α(x,yの式)+b(yの式)+k a,b,c,d,e, k を定数として (a>0, b>0) と変形できるなら, x+ey+d=0,y+e=0 で最小値をとる。 P RACTICE 73° x,yを実数とする。 6x2 +6xy+3y²-6x-4y+3 の最小値とそのときのx,yの値を 求めよ。 [類 北星学園大 ] 125 3章 8 2次関数の最大・最小と決定

y^2≧0はなんのためにありますか？

202 重要 例題 121 2変数関数の最大・最小 (3) | 実数x,yがx2+2y²=1を満たすとき, x+y2 の最大値と最小値, および2 ときのx,yの値を求めよ。 指針か.150 例題 89 は条件式が1次だったが、2次の場合も方針は同じ。 条件式を利用して、文字を減らす方針でいく。このとき、次の 解答 2点に注意。 [1] 計算しやすい式になるように,消去する文字を決める。 ここでは、条件式をy'=1/12 (1-x^²)と変形して 1/2x+y に代入するとよい。 [2] 残った文字の変域を調べる。 ****** y'=1/12 (1-x4)で,y≧0であることに注目。 ←(実数) CHART 条件式 2²2-1から=1/12 (1-2)・・･・・ ① -(1-x²) 1-x20 2≧0であるから ゆえに よって ① を代入すると (x+1)(x-1)≦0 -1≤x≤1 をとる。 ①から 変域に注意 文字を減らす方針で 1/2 x + x² = -1/2 x ² + 1/2 x + 1/1/2 f(x)はx= 2 これをf(x) とすると、②の範囲で - 1/2 ( x - 72 ) ( + 1/²/3) 1\2 (2) で最大値 58 (x,y) 58 f(x) - 1020 = ± √/12 (1-1) = X 土 x=-1のときy'=0 したがって 2 最小 0 x=-1で最小値- V8 5 8 最大 y = 0 12 12 (x,y)=(1/24) のとき最大値 8 √6 4 緑習 実数x,yがx+yを満たすとき, 2x+2y-1の最 ③ 121 ときのx,yの値を I 条件式は x,yともに2 計算する式は xが1次が であるから」を注ぎ るしかない。 xの2次式 基本形に直す。 ²+ = -1/- (²-11 +(-3)** (1-8²) y= 重 実求 (税込 [指] 解答

例題71、解き方を見ても分かりません。 丁寧に解説説明していただけたら幸いです

例 79 2変数関数 x,yが実数の値をとりながら変化するとき! P = x² − 4xy+5y² + 2x-2y+7Laki 思考プロセス 魚 円千 の最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。 例題 77との違い 見方を変える fxとyの関係式がないから, 1文字消去できない。 lxとyがそれぞれ自由に動くから考えにくい。 nime KONZO5NES SOJORT ① yをいったん定数とみるxの2次関数 P=x2+(yの式)x+(yの式) (yを固定する) の最小値をyの式で表す。 ② yを変数に戻す ( v を動かす) Action>> 2変数関数の最大・最小は,1変数のみに着目して考えよ Pをxについて整理すると (= 24-09 =(yの式)の最小値を求める。 P=x2-4xy+ 5y2 + 2x - 2y +7 =x2-2(2y-1)x + 5y² - 2y + 7 ={x-(2x-1)}2-(2x-1)2 +5y2-2y +7 = (x-2y+1)2 + y^+ 2y + 6 = (x-2y+1)2 +(y+1)^-1 + 6 = (x-2y+1)2 + (y + 1)2 +5 - x, y は実数であるから (x-2y+1)^ ≧0, (y+1) ≧0 よって (x-2y+1)^2+(y + 1)2 + 5 ≧ 5 等号が成り立つのは のときである。 これを解くと したがって, Pは x-2y+1=0 かつ y +1 = 0 201 x = -3, y = -1 25. x=-3, y = -1 のとき 最小値 5 1:0A xについての2次式とみ 平方完成する。yは 定数とみて考える。 yを定数とみたときの最 ①･･小値m は m= = y2 + 2y + 6 dioni この最小値を考えるため, さらに平方完成する。 ( 実数 ) ≧0 2 1030 Pの2つの()内が 0のとき, 最小値をとる。 (x−2y+1)² + (y+1)² +5 || || 0 y+1=0 より y = -1 これを x-2y+1 = 0 に 代入してx=-3 ■int…. 実数の性質 X,Y が実数の値をとりながら変化するとき, X' ≧ 0, Y2 ≧ 0 であるから, X2+Y2≧0が常に成り立つ。 また,X2+Y2=0 となるのは,X=Y=0のときに限られる。身 (実数) ≧0

解説お願いします！！

重要例題 122 2変数関数の最大 最小 (4) ● 00000 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を [類 南山大〕 基本 10 求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。 条件式は文字を減らす方針でいきたいが Am.

解説お願いします！！

重 例題 要 実数x,yがx+2y²=1を満たすとき, ときのx,yの値を求めよ。 121 2変数関数の最大・最小 x+y2 の最大値と最小値, およびその 基本 針は同じ。

重解を使ってxを求めるのを解の公式で求めることはできますか？

重要 例題 119 2変数関数の最大・最小 (4) 187 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。 0000 指針 条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x+y=2から文字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。 [ 類 南山大〕 基本 98 そこで, 2x+y=t とおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいようにy=t-2xとしてyを消去し, x2+y²=2に代入すると x2+(t-2x)2=2となり,xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用するとのとりうる値の範囲が求められる。 D≧0の利用。 実数解をもつ CHART 最大･最小=t とおいて, 実数解をもつ条件利用 最初に最大、最小をもとめてからつを もとめる 解答 ...... 2x+y=t とおくと y=t-2x これを x2+y2=2に代入すると [参考 実数 a, b, x, y につ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー・シュワルツの不 等式)。 x2+(t-2x)2=2 整理すると 5x²-4tx+t2-2=0 ...... (ax+by)² ≤ (a²+b²)(x²+y²) このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は, ② の判別式をDとすると [等号成立はay=bx] D≧0 a=2, b=1 を代入すると (2x+y)^2≦(22+12)(x2+y2) ここで D=(−2t)² - 5(t²-2)= -(t²—10) x2+y²=2であるから (2x+y)≤10 D≧0から t2--10 ≦0 よって これを解いて -√10 ≤t≤√10 -√10 ≤2x+y≤√/10 (等号成立はx=2yのとき) t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解 x=- 2.5 このようにして、左と同じ答 というからん えを導くことができる。 2√10 √√√ ₁ = £₁ t=±√10 のとき x=± ①からy=± 5 axtbox+c=0で 2√10 したがってx=- のとき最大値10 5 12=b²-4ac=0 2√10 √10 ならばこ 5 √10 y= う 5 5y- をもつ。 √10 5 (複号同順) のとき最小値-√10 まわすとき

重解がなぜ黄色線のように求めることができるのかが分かりません。教えてくださると嬉しいです🙇‍♀️

重要 例題119 2変数関数の最大 最小 (4) そこで、2x+y=tとおき,これを条件式とみて文字を減らす。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると、tのとりうる値の範囲が求められる。 「実数x,yがx?+y?=2 を満たすとき、2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 187 【類南山大) 基本 98 実数解をもつ→D20 の利用。 HART 最大·最小 =Dt とおいて, 実数解をもつ条件利用 3章 13 NAHC 解答 2x+y=tとおくと これをx°+y=2に代入すると ソ=t-2x の 実数 a, b, x, yにつ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー·シュワルツの不 等式)。 参考) x°+(t-2x)°=2 5x-4tx+t?-2=0 このxについての2次方程式②が実数解をもつっための条件は, 整理すると 2の判別式をDとすると [等号成立は ay=bx] a=2, b=1 を代入すると D20 D 『ここで =(-2t)-5(?-2)=-(?-10)さるさケ (ー x°+y?=2 であるから D20 から でピ-10<0 ルード ス (2x+y)°<10 よって> これを解いて -V10 Sts10 ち -10 2x+yS/10 2t をもつ。 5 (等号成立はx=2y のとき) このようにして,左と同じ答 えを導くことができる。 t=±V10 のとき D=0 で, 2は重解x= -4t 三 2.5 2/10 t=±V10 のとき x=± 5 10 のから y=土 5 (複号同順) 2/10 V10 のとき最大値、10 5 したがって xミ 5 ソミ 2/10 /10 xミー 5 のとき最小値 -/10 ソ=ー なぜ5 2次不等式 本故

画像下線部のところで０以上であることを確認する理由がわかりません。

140 重要 例題87 2変数関数の最大 最小 (2) (1) x, yの関数 P=x°+3y?+4x-6y+2 の最小値を求めよ。X (2) x, y の関数 Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ なお,(1),(2)では,最小値をとるときの x,yの値も示せ。 [(1) 類豊橋技科大,(2) 類摂 指針> (1) 特に条件が示されていないから,x, yは互いに関係なく値をとる。 このようなときは,次のように考えるとよい。 x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする)を定数と考え 2次式とみる。そして,Pを基本形 a(x-)+q に変形。 2 残ったq(yの2次式)も,基本形 6(y-r)°+s に変形。 3 P=aX'+6Y*+s (a>0, b>0, s は定数)の形。 →PはX=Y=0 のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが,方針は(1)と同じ。Q=a{x-(by+c)}\+d(y- 1 CHART条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて! 解答 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)°-22+3y?-6y+2 =(x+2)°+3(yー1)?-3-12-2 =(x+2)°+3(y-1)?-5 ま A次 AP e yは実数であるから よって,Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 (x+2)°20,_(yー1)?20 ゆえに x=-2, y=1のとき最小値 -5 (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x?-2(y-2)x+2y?-2y+6 = {x-(y-2)}°-(y-2)?+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y?+2y+2 =(x-y+2)?+(y+1)°-1?+2 2 2