この問題を原始的にやってみたら解けてしまったのですが、他の似た問題で数が大きくなった時などに解けるように解法を教えて頂きたいです。お願いします🙇‍♀️

141 1次不定方程式の応用 (1) 4gのおもり 10個と3gのおもり 18個がある。これらを組み合わせて合 計57gにする方法は全部で 通りある。 19 不虫l 7 しo An o る中l7 1. *と 内 ,。

整数の問題なんですが、自力で解を見つけなくてはならないのですか？ 解説お願いします🤲

143 1次不定方程式の整数解の存在条件 次の0~0の1次不定方程式のうち, 判断力 整数解(x, y)が存在しないものを1 つ選べ。ア 0 23x-31y=1 0 23x-31y=-2 0 481x+407y=1 3 481x+407y=37

(4)の（ⅱ）の回答の意味が分かりません。 教えてください。

高3数学日々課題「鍛錬千日.勝負一瞬」 No. 8 (共通テスト 第1回試行調査) を3以上の整数とする。紙に正方形のマスが縦増とも(n-1)個ずつ並んだマス目を香く。 上から「ケコ行目 ーア個のマスに,以下のルールに従って数字を1つずつ書き込んだものを「方盤」と呼ぶことに する。なお、横の並びを「行」,縦の並びを「列」 という。 次の0~ (5) =56 のときの方盤について,正しいものを サ ルール:上からk行目,左から1列目のマスに,kと1の積をnで 割った余りを記入する。 第=3, n=4のとき,方盤はそれぞれ下の図 1,図2のようになる。 0 上から5行目には0がある。 0 上から6行目には0がある。 の 上から9行目には1がある。 0 上から 10行目には1がある。 0 上から 15行目には7がある。 6 上から21 行目には7がある。 1|2|3 1|2 21 2|0|2 3|2|1 図1 図2 例えば,図2において,上から2行目,左から3列目には、2×3=6を4で割った余りである2か 書かれている。このとき,次の間いに答えよ。 解説) (1) A のマスは, 上から6行目, 左から3列目のマスでき Aに当てはまる数は, 6×3=18 を8で割った余りであ また,図3の方盤の上から5行目に並ぶ数は,5, 10, mati (1) n=8のとき,下の図3の方盤のAに当てはまる数を答えよ。 ア Conc るから 52741 6 3 よって,1が書かれているのは,左から15列目である (2) nが合成数であるとすると, ガ= kl, 2<kSn-1, 2名1Sn-1 を満たす自然数k, 1が存在する。 このた,1について,上から&行目,左から1列目の よって,マスに0が現れないためには nが素数である 逆に,nが素数であるとき,2<kハュー1, 2SIsn よって, klがnで割り切れるようなん, 1は存在しを 以上から,方盤のいずれのマスにも0が現れないたに ることである。(ウ@) (3)(1) 方盤の上から27行目, 左から1列目の数が1 A 図3 能性 また,図3の方盤の上から5行目に並ぶ数のうち,1が書かれているのは左から何列目であるか を答えよ。左から イ列目 rma (2) n=7 のとき, 下の図4のように, 方盤のいずれのマスにも0が現れない。 1|2|3|4|56 2 46|1|3|5 「9 3 6 2|5|1|4 して 4|1|5|2|6 3 271= 56m +1 ; We 5|3|1 6|4 を満たすということである。 したがって,1次不定方程式 271- 56m=1の整 よい。(0) (ii) 56 と 27に互除法の計算を行うと 6|5|4|3|2|1 図4 なか このように,方盤のいずれのマスにも0が現れないための, n に関する必要十分条件を, 次の0 ~6のうちから一つ選べ。 0 nが奇数であること。 0 nが4で割って3余る整数であること。 の nが2の倍数でも5の倍数でもない整数であること。 0 nが素数であること。 0 nが素数ではないこと。 6 nー1とれが互いに素であること。 (3) nの値がもっと大きい場合を考えよう。 方盤においてどの数字がどのマスにあるかは,整数の性 質を用いると簡単に求めることができる。 カ=56 のとき,方盤の上から 27行目に並ぶ数のうち, 1は左から何列目にあるかを考えよう。 (1) 方盤の上から27行目, 左から!列目の数が1であるとする(ただし, 13!s55) 。1を求める ウ 56=27-2+2 よって 2=56-25 27=2-13+1 1=27-2-13=27-(56-27-2)-13- 271-56m=1の整数解の1つは1=27, m= よって 1=27-2 ゆえに 文の 271-56m=1 27-27-56-13=1 の-2 から 27(1-27) -56(m- 13)=0 27(1-27)=56(mー13) 27 と 56 は互いに素であるから **… 2の にいた すなわち 1-27=56p, m-13=27p( よって,271-56 3D1 の整数解は ためにはどのようにすれば良いか。正しいものを,次の0~0のうちから一つ選べ。エ 0 1次不定方程式 271-56 3D1の整数解のうち, 1sis55 を満たすものを求める。 0 1次不定方程式 271-56m= -1 の整数解のうち,1<I<55 を満たすものを求める。 の 1次不定方程式 561- 27m3D1の整数解のうち, 1SI555 0 1次不定方程式 56-27m=-1の整数解のうち,1sis55 を満たすものを求める。 (ii)(i) で選んだ方法により,方盤の上から27行目に並ぶ数のうち,1は左から何列目にあるかを 1=56p+ 27, m=27 p+13 131555 となるのは,p=0 のときだけであ よって、1は左から オカ27 列目にある。 (4)(i) 241 が56 の倍数であることは 241= 56m(mは整数) たすものを求める。 と表されることである。すなわち 23.31 =23.7m 求めよ。左からオカ列目 31=7m から (4) カ=56 のとき,方盤の各行にそれぞれ何個の0があるか考えよう。 (i) 方盤の上から 24行目には0が何個あるか考える。 左から1列目が0であるための必要十分条件は,241 が56の倍数であること,すなわち, 1が 3と7は互いに素であるから,1は7の倍数て したがって, 241 が56の倍数であるための 1SI555を満たす整数1のうち,7の倍数に (i) 上から&行目に並ぶ数について,左から 文で 接続 キの倍数であることである。したがって,上から 24行目には0が「|ク個ある。 (ii)上から1行目から 55行目までのうち, 0 の個数が最も多いのは上から何行目であるか答えよ。 **ャ 9|0

印のついているところでどの式に7k−4を代入しているのでしょうか？ よろしくお願いします

OOOO0 524 別解 4 {an}: {b}: 重要例題93 2つの等差数列の共通頂 よって 基本 85 重要100 の一般項を求めよ。 その一 (公差)=(n の係数) 補定 On=2+7(n-1)であるから. 数列{b.}の初項は 2, 公差は7 である。 具体的に項を書き出してみると 指針> an=1+4(nー1) であるから、 数列 {an}の初項は 1, 公差は4, +4は7回 +4 +4 +4+4 +4 +4 +4 tan}:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 37, 30, 51, 58, 65, 44, {bn}: 2, 9, 16, 23, +7 +7 +7 +7 +7は4回 よって {ca}:9, 37, 65, … となり, これは初項9, 公差 28の等差数列である。 公差4,7の最小公倍数 このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからない (相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率である。そこで,1次不定方程式(数学 A)の解を求める方針で解いてみよう。 共通に含まれる数が, 数列 {an} の第1項, 数列{bn}の第 m項であるとすると よって,1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 4/-7m=-2 の整数解であるから,まず この不定方程式を解く。 … 解として,例えば, 1=(kの式)が得られたら, これをa=4l-3のlに代入すればよい。 ただし,kの値の範囲に注意が必要である(右ページの検討参照)。 a=bm 解答 4/-3=7m-5 4/-7m=-2 1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから 4(1+4)-7(m+2)=0 4(7+4)=7(m+2) 4と7は互いに素であるから, kを整数として a=bm とすると よって =3, m=2 とした場合は 検討参照。 ゆえに 1+4=7k, m+2=4k すなわち ここで,1, mは自然数であるから,7k-421かつ 4k-221 より,&は自然数である。 よって,数列 (c}の第ん項は, 数列 {an} の第1項すなわち第 (7k-4)項であり 1=7k-4, m=D4k-2 と表される。 くたはん2号かつたとを 満たす整数であるから, 自 然数である。 4(7k-4)-3=28k-19 求める一般項は, kをnにおき換えて (数列(b}の第 m頂すなわ ち第(4k-2)項としてもよ C,=28n-19 い。

この問題を合同式（mod）を使って計算することはできますか？

12 で割ると1余り, 7で割ると4余る3桁の自然数のうち最大の数を求めよ。 基本例題123 1次不定方程式の整数解の利用 OOOO0 基本122 CHART SOLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+6y=c の形に変形 条件を満たす自然数は, 整数x, yを用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される そこで,まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め, それから題意の自然数を 求める。 解答 求める自然数をnとすると, nはx, yを整数として, 次のよう に表される。 aをもで割った商をg. | 余りをrとすると a=bq+r n=12x+1, n=7y+4 よって 12x+1=7y+4 『すなわち 12x-7y=3 の x=3, y=5 は,12.x-7y=1 の整数解の1つであるから まず, ① の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 12-3-7-5=1 の整数解を求める。 両辺に3を掛けると の 12.9-7·15=3 12(x-9)-7(y-15)=0 12(x-9)=7(y-15) の-2から すなわち 12 と7は互いに素であるから,3を満たす整数xは x-9=7k すなわち x=7k+9 (kは整数) *nを求めるためには、 x, yの一方が求まれば よい。 と表される。 したがって n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109 84k+109 が3桁で最大となるのは, 84k+109<999 を満たす kが最大のときであり, その値は このとき 参考 解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め,それか ら3を導いて解いた。 しかし,例えばx=2, y=3 がOの整数解の1つであ ることに気がつけば, これを用いて解いてもよい。 本間のように,x, yの係数が比較的小さいときは, 整数 解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場合も 全84k+109 999 から 999-109 k=10 kS 84 n=84·10+109=949 =10.5……… * 12-2-7-3=3 と①から 12(x-2)-7(y-3)=0 ある。

不定方程式の整数解で印のつけているところで、参考書によってX+1=5k とX+1=-5kの2通りあるのですが、何が違うのでしょうか？ よろしくお願いします

基本 例題127 1次不定方程式の整数解 (1) ax+by=1 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 9x+5y=1 (2) 19x-24y=1 p.505 基本事項 指針>1次不定方程式の整数解を求める基本 まず,1組の解を見つけ (1) x, yに適当な値を代入して1組の解を見つける。方法は何でもよし 11」 係数が大きいxに1, -1などを代入して, yが整数となるよう [2] 9x を移項して 5y=1-9x この右辺が5の倍数となるよう (2) 係数が大きいから, 1組の解が簡単に見つかりそうにない。このよ 法を利用して見つけるとよい。解答下の注意を参照。 解答 (1) 9x+5y=1 x=-1, y=2 は① の整数解の1つである。 9.(-1)+5-2=1 9(x+1)+5(y-2)=0 9(x+1)=-5(yー2) 9と5は互いに素であるから, x+1 は5の倍数である。 ゆえに,kを整数として, x+1=5k と表される。 1組の1 よって の っても D-2から の x=4, すなわち Aa, b= が6の 3に代入して 9-5k=-5(y-2) すなわち y-2=-9k x=5k-1, y=-9k+2(kは整数) 6の倍 よって,解は (a, b A

【至急】 6の倍数や8の倍数でまとめるところがよくわかんないです！ 教えてください！

12 6, 7,8 で割ると3, 2, 5余る整数の内で, 絶対値が最小なるを求めよ。 解答 題意にいう整数nは, 適当な整数k,に対し, 先ず,6の倍数をまとめて, 次に,8の倍数をまとめて, n=6kj+3=7k2+2=8ks+5 6k,+3=k2+2 から, 8kg+2k,+9=5 k=-28ks-13 n=168k-75 (k:整数)を得て, 7(6k,+1)+2=8ks+5. k=-4ks-2 n=-168kg-75 求めるは -75 なり、 逆に辿り,順に, k,=-21A,-10. kz=-24ks-11 以上から, 一般解として,

矢印で書き入れたところの式変形教えてください😭

の最大公約数を調べる。 291 = 137·2+17 137 = 17·8+1 17 = 1·17 よって,291 と 137 は, 最大公約数が1で あるから,互いに素である。ここで, ①, ②において, 余り以外の項を移項すると 291- 137·2= 17 137- 17·8 =1 ③の17を④に代入すると 137- (291-137·2)·8=1 左辺を変形すると 291·(-8) + 137·17 = 1 したがって, 1次不定方程式 291.x + 137y = 1の1組の整数解は x=-8 ly= 17

この問題の(2)の答えは、 x=64k-29 ，ｙ＝-75k+34　になります。 でも、私が求めた答えは、 x=-64k-29 ，ｙ＝75k+34　と、 符号が逆で答えが出ました。 これは、間違いなんでしょうか？

215 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 3x-5y=1 (2) 75x+64y=1

これはどのように整理されているのですか？

ユークリッドの互除法により, 163 と 78 の最大公約数を調べる。 1次不定方程式の整称 3 1次不定方程式 163x+78y=1 の1組の整数解を求めよ。 解 ユークリッドの互除法により, 163 と 78の最大公約数を調べ。 163 = 78 × 2+7 78 = 7×11+1 7=1×7 よって, 163 と 78は, 最大公約数が1であるから, 互いに素で ここで,D, 2において, 余り以外の項を移項すると 163-78×2=7 78-7×11 =1 ー33号 \ ちき ③を④に代入すると 78-(163-78×2)×11 =D 1 163 と 78 の項について整理すると 163·(-11)+78· 23 =D 1 したがって,1次不定方程式 163x+78y=1 の1組の整数 x=-11 ly= 23