ルートの中が二乗とかだったら置換しないと求められないのですか？

基本 例題 109 f(ax+b)の不定積分 不 00 次の不定積分を求めよ。 (1) S (2x+1) dx (3) √ 1 - 3x dx (2) Ssin(3x+2)dx (4) 24x-1dx p.180 CHART & SOLUTION この例題の関数は、すべてf(ax+b) の形。 αに注意して積分する。 F'(x)=f(x), a≠0 とするとき [f(ax+b)dx=21/F(ax+b)+C/1/2を忘れずに! (1)f(x)=x^2 とすると f(2x+1)の不定積分を考える。 (2)~(4) も同様。 答 (1) S√(2x+1)dx=f(2x+1)/2dx=121/12 (2x+1)1+C 25 ==(2x+1)2√2x+1+C (10 1/2を忘れ ←(2x+1)

（ア）の問題についてです。 解いてみたのですが答えが合いません。 間違っているところをご指摘して頂きたいです。

● 6 整式の割り算/2つの余りの条件 (ア) 整式f(x) はæ-1で割ると余りが3である.また, f (x) をx'+x+1で割ると余りが 4+5である. このとき,f(x) を3-1で割ったときの余りを求めよ. (関西大 総合情報) (イ) 整式f(x) をx2-4x+3で割ったときの余りは+1であり2-3x+2で割ったときの余 りは3-1である. f(x) を x3-6x2+11x-6で割ったときの余りを求めよ. (秋田大 医) 2つ目の条件の反映させ方 (ア)のように,2つの余りの条件がある場合,それらの割る式を掛け合 わせた式で割ったときの余りを求めることが多い。 (ア)を例にして説明しよう。 一方の余りの条件(割 る式の次数の高い方 いまは2+x+1) の商をA (x) とおくと, f(x)=(x2+x+1)A(x)+4 +5•••アと表せる. いま, f(x) をx-1=(x-1)(x2+x+1)で 割った余りを求めたい. そこで,x 3-1が現れるように, A (x) をæ-1で割ることを考える. A (x) を x-1で割った商をB(x), 余りをとして, A(x)=(x-1)B(x)+rとおき,アに代入する.この式 に対して,もう一方の余りの条件を反映させてを求めれば,-1で割った余りが分かる. 解答量 (ア) f(x)=(x+x+1)A(x)+4+5 A(x)=(x-1)B(x)+r と表せるから, f (x)=(z+x+1){(x-1)B(x)+r}+4m+5 =(x-1)B(x)+r(x2+x+1)+4 +5 f(x) をx-1で割ると余りが3であるから, 剰余の定理により, f (1)=3 ①にx=1を代入して, f(1)=3r+9 .. したがって, ①により, 求める余りは, 3r+9=3 r=-2 ・① ←前文参照. f(x) を-1で割った余りは2 次以下になるが, ①により, f(x) をx-1で割った余りが r(x'+x+1)+4+5であるこ とが分かる.あとはを求めれ ばよい. -2(x2+x+1)+4x+5=-2x2+2x+3 (イ)-4x+3=(x-1)(x-3), x2-3x+2=(x-1)(x-2), x³−6x²+11x−6=(x−1)(x²-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3) であることに注意する. f(x) をx2-4x+3で割った余りがx+1である. 商を A(x) とおくと, f(x)=(x-1)(x-3)A(x)+x+1 x-6x2+11c-6にx=1を代入 すると0になるから, 因数定理に よりæ-1で割り切れる (次章の ◇4 を参照). ① ここで,A(x)=(x-2)B(x)+rと表せ,これを①に代入して A (x) をx-2で割った商が 2 B(x), 余りが (1次式で割った から,余りは定数). f(x)=(x-1)(x-3){(x-2)B(x)+r}+x+1 一方,f(x) をx2-3x+2で割った余りが3-1であるから, f(x)=(x-1)(x-2) Q(x)+3x-1. と表せる.上式にx=2を代入して,f(2)=5. ②にx=2を代入して, .. -r+3=5 .. r=-2 f(2) =-r+3 ②から,f(x)=(x-1)(x-2) (x-3)(x)-2(x-1)(x-3)+x+1 を求めるには,②でB(x)が消 えてrが残るx=2に着目. m したがって, 求める余りは,=-2x2+9x-5 wwwwwwwwwwwww

黄色のところってどういう意味ですか？

| 領域と最大・最小 点(x, y) がある領域内を動くとき, x, yの1次式がとる値の最大値 と最小値について考えてみよう。 例題 x, yが4つの不等式 23 5 x≥0, y≧0, 2x+3y≦12, 2x+y≦8 考え方 を同時に満たすとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。 x+y=k とおくと, y=-x+k であり,これはy軸上の切片がん の直線を表す。 この直線が連立不等式の表す領域と共有点をもつ ときのんの値の範囲を調べる。 10 解答 与えられた連立不等式の表す領 域をDとすると,Dは4点 y k=5 8 (0, 0), (4, 0), (3, 2), (0, 4) を頂点とする四角形の周および 内部である。 4 k=0 (3,2) k 15 x+y=k ① とおくと, 1 は傾きが -1, y軸 20 第3章 図形と方程式 上の切片がんの直線を表す。 この直線①がDと共有点をもつ ときのんの値の最大値と最小値を求めればよい。 図からんの値は, 直線 ①が点 (3,2)を通るとき,最大に 00) を通るとき, 最小になる。 よって,x+yは x=3, y=2のとき最大値5をとり x = 0, y=0 のとき最小値0をとる。 練習 x,yが4つの不等式x≧0,y≧0, x+2y≦4, 3x+2y≦8 を同時に 38 満たすとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。 第2節 円,軌跡と領域 95

数Ⅲの無理関数の積分の範囲です。 私は√をtで置換したのですが答えが合わず、どこが間違っているか教えて頂けたらありがたいです！

(¹) Si S√x 45 +3 √x+9 +3 dx √x+9=tとおく。 x+9= ť² x = t² -9 ₤z dx = 2tdt. t²-9 (5)=+++3 = 25 2 "1 = 2tdt. (t-307+3)t t+3 - 2 ft (t-3) dt 2/t-3t)dt • 2 (+3³3 - 3 / + ² ) + c (2t-9)+c dt 3/3(x+9) (1x+9 - 1) + c

どうしてn>=2にするんですか？

の意味」 an+g がある. 133 に関係している. 1次関数y=px+αの x られ、次に,a2 を x=2 =px+gによって、次々 特性方程式について考えて 特性方程式 a=pa+q 考え方 解答 ひく? Omnian brand とおくと an+2an+1=3(Aw+1 am) +2 bm+1=36+2, bm+1+1=3(bm+1) より、 特性 じだけ平行移動して n≧2 のときの したがって、数列{bm+1} は初項12,公比3の等比数列 b"=4.3"-1 bm+1=12・3" =4・3" 方程式だから、 b=az-a=3a1+2+3-a=11 b₁+1=12 -1 1 のように考える. /y=x40~ k=1 k=1 3漸化式と数学的帰納法 (83) B1-65 **** La=3, an+1=3a,+2n+3 で定義される数列{an} の一般項 α を求めよ. 例題 B1.34 漸化式 anti=pan+f(n) (カキ1) [答] 漸化式 n+1= 30+2n+3 において,nを1つ先に進めて as+2 と に関す る関係式を作り,差をとって、(a)に関する漸化式を導く。 2αに加える (または引く)nの1次式pn+g を決定することにより,( {a,+pn+g} が等比数列になるようにする。 an+1=3am+2n+3 ☆ = 30+2(n+1)+3 ②①より、 a+b=3+(4·3-1)=3+ ②は①のにn+1 を代入したもの 差を作り, nを消去 する. ①より, a2=3a,+2+3=14 α = 3α+2 より α=-1 12.3"=4・3・3"-1 =4.3" 第 1 章 12(3"-1-1) (n-1) 3-1. =6・3"-1-n-2=2・3"-n-2 =px+q(y-a=p(x-a)) n=1のとき, a=2・3'-1-2=3より成り立つ よって. an=2.3"-n-2 6・3"-1=2・3・3" - L =2.3" n=1のときを確認 W 軸方向にα y軸方向にα 平行移動 px 解答 2pg を定数とし, an+1+p(n+1) +q=3(a,+pn+g) とおくと, an+1=3a,+2pn+2g-p an+1+pn+p+g もとの漸化式と比較して, 2p=2, 2g-p=3より,p=1,g=2 したがって,att(n+1)+2=3(a+n+2), a+1+2=6 より, 数列{an+n+2}は初項 6,公比3の等比数列 =3a+3pn+3g よ り, an+1=3a+2pn +2q-p よって, an+n+2=63"23" より an=2.3"-n-2a=3 an+1=pan+f(n) (f(n)はnの1次式 p(x-a) Focus うが同じグラフ) このαを利用して 差を作り, n を消去して階差数列を利用して考える れを1つ先に進め 注》例題 B1.33 (p.B1-63) のように例題 B1.34 でも特性方程式を使うと, α=3a+2n+3 よ 3 3 5. a=-n- となる.これより,Qn+1+n+1/2=3am+n+ ある。 a)と変形でき, x=px+gの の特性方程式 練習 <数学的背 」として通り 順番になっていない 3 と変形できるが,等比数列を表していないので、このことを用いることはできない。 注意しよう. (p. B1-66 解説参照) a=2,an+1=2am-2n+1 (n=1,2,3, ･･････) によって定められる数列{a}に B1.34 ついて, ** (1) bm=am-(an+β) とおいて、数列{bm}が等比数列になるように定数 αβ の値を定めよ. (2)一般項 α を求めよ. B1 B2 C1 (滋賀大) C2

複素数の問題です。 POINT CHECKとPRACTICEの大門1について、 どちらも同じ「複素数の範囲で因数分解をしなさい」と言われていて、前者の答えは()の中の分数を無くすようにしているのに対して、後者は()に分数があるまま答えを出しています。 何が違うのでしょう... 続きを読む

第2章 複素数と方程式 1 複素数と2次方程式 23 解と係数の関係 (2) 数Ⅱ [学習日 P64 POINT CHECK ①の類題 実数の範囲で因数分解する。 2次方程式 4.12x+7=0を解くと, ・特に指定がない場合は, 有理数の範囲で因数分解する。 つまり、 2次式はつねに1次式の積に因数分解できる。 (ただし, 複素数の範囲) 学習の目標 2次方程式の解を利用して因数分解しましょう。 STUDY GUIDE 愛念の全合 2次式の因数分解 2次方程式 ax+bx+c=0の2つの解をα, B とおくと, 次の関係がある。 公式の因数分解 ax'+bx+c=a(α)(B) 計算における注意 因数分解のときに,g を忘れないこと。 α. β は,解の公式から必ず求められる。 要点をまとめましょう。 662-4.7 I= 4 68 4 3±√2 2 一複素数 実数 [ 有理数!!!!無理数 よって, 例題 次の2次式を複素数の範囲で因数分解しなさい。 x²-4x+1 解の公式から解を求める 2次方程式 4x+1=0を解くと. x=2±√2"-1=2±√3 よって, 4r+1={z(2+√3)} {ェー(2-√3)} =(x-2-√3)(x-2+√3) 実数の範囲での因数分解 POINT CHECK ◆次の2次式を複素数の範囲で因数分解しなさい。 ①の類題 4ー12c+7 x²-6x+14 2次方程式6z+14=0を解くと. =3±√32-14=3±√-5=3±√5i よって、 = 6z+14= {z(3+√5)}{ェー(3−√5) (3-5) (3+√5i) 42-12F+7=(3+/2)(x-3) 2 =(2x-3-√2) (2-3+√2 ) ②の類題 複素数の範囲で因数分解する。 2次方程式 92+6x+2=0を解くと, I= -3±√32-9.2 9 -3±√-9 複素数の範囲での因数分解 9 -3±√9i 要点の確認をしましょう 9 -1±i 品の類題 9z+6z+2 = 3 (2x-3-√2) (2x-3+√2) -64- PRACTICE 1 次の2次式を複素数の範囲で因数分解しなさい。 10 L100 (1) 3-7x+3 よって, 9x²+6x+2=9(x−−1 + 1)(x-1-1) 3 =(3+1-i)(3c+1+i) (3x+1-i)(3x+1+i) P65 PRACTICE 1 2次方程式の解を求めて, 因数分解する。 (1) 2次方程式32-7x+3=0を解くと, 7±√13 I= 6 数Ⅱ 練習問題を解いてみましょう L103 (2) 2-3x+5 3c-7s+3=3(x_7+/13)(x_7-/13) 6 6 (2) 2次方程式 2-3x+5=0を解くと, 3(x-7+√13)(x-7-√13) 6 6 3+√11 (x-3)(x-3) 2 次の式を ①有理数 ② 実数 ③複素数の各範囲で因数分解しなさい。 3±√11i 2 3+5=(x-3)(x-3) 2 2(1) -32-10=(x2+2) (2-5) ① =(x2+2)(x+√5)(x-√5) →②

この問題のエオで、2ページ目のように、普通に割るのがなぜダメなのか教えてください！ アイウの問題とは別、とかんがえればいいんでしょうか？(a=3では無い)

(1)(i)の多項式P(z)=2x+5-6+αは1で割ると余りが4であるという。 このとき,=アである。 さらに,P(x)を多項式Bで割ると,商が2x-1,余りが+1であるとき,多 式Bは, B=r+ イエー ウである。 (i) 多項式 P(z) を x+1で割ったときの余りは2であり,x-2で割ったときの余り 8である。 P(x) を xx2で割ったときの余りはエx+オリである。

数Bの漸化式の分野でbnの初項が4に+3して7になるのが何故か教えて欲しいです、、🙇

22 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 a1=1, An+1=2an+3n 隣接2項 ポイント③ an+1=pan+(nの1次式) 階差数列を利用

（2）の途中式と答えをお願いします

5. 多項式P(x)=x+x2x+1 を次の1次式で割った余りを求めよ。 (1) 3 (2) 2x+1

なぜこの式が等差数列と見なせるのか、初項や公差はどれか教えて欲しいです🙇‍♀️🙏

(k, 0), (k, 1),, (k, 2n-2k) 精講 れは様々なレベ ます。 されています。 格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて 上げることもできますが,このように, nが入ってくると数える手段を知ら ないと解答できません. その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。 ポイントによれば, 直線 y=kでもできそうに書いてありますが、こちらを 使った解答は (別解) で確認してください。 (1) 直線 x=k上にある格子点は 解答 2n x=k 2n-2k の (2n-2k+1) 個. 注 y座標だけを見ていくと, 個数がわかります。 (2)(1)の結果に,k=0, 1, ..., n を代入して, すべ て加えたものが,Dに含まれる格子点の総数. n X n ∴Σ(2n-2k+1) k=0 n+1 ◆ 等差数列 = {(2n+1)+1} 2 等差数列の和の公式 10=(n+1)² ESSI 注 計算をする式がんの1次式のとき, その式は等差数列の和を表 n しているので、 21/27 (atan) (112) を使って計算していますが、もち n k=0 n 001) (2n+1)-2Σk として計算してもかまいません。) k=0