平面上の点の移動と反復試行
基 本 例題 53
右の図のように、東西に4本, 南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
向かう。このとき,途中で地点Pを通る確率を求めよ。
ただし、各交差点で,東に行くか, 北に行くかは等確率
とし、一方しか行けないときは確率1でその方向に行く
ものとする。
針 求める確率を
5C2*2C2
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
とするのは誤り! これは,
7C3
どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は道順によって確率が異なる。
例えば,A↑↑↑→→P→→Bの確率は
·1·1·1·1=
から.
この確率は
[②2] 道順A→D'→D→P
111
2 2 2
1/2×1/1/2×1/2×1×1=(1/21)-1/1/8
この確率は
[3] 道順A→PP
この確率は
A↑→↑→↑P→→Bの確率は
1 1 1 1 1 ·1·1= 3/2
・1・1=
22 2 22
したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
解答
右の図のように,地点C,D,C', D', P'をとる。
Pを通る道順には次の3つの場合があり、これらは互いに排反で
ある。
[1] 道順A→C→C→P
よって、求める確率は
DC (1/2)(1/2)×1/1×1=3(1/21)-1/18
16
2
6
C² ( 12 ) ² ( 12 ) ² × 2 / 2 = 6( 12 ) * = 3/2/2
基本52 00000
16
6
3
1
+
8 16
+
1
32 2
32
●
1=1/
18
P
CD P
A
C' D' P'
(1)(2)
[1] ↑↑↑→と進む。
[2] ○○○↑→と進む。
B
○には,
[3] 〇〇〇〇 ↑ と進む。
○には、2個と 12個が入る。
12個が入る。
1個と
ゴール
B
北4+
