極小値をとる。定数 a, b, cの値と極小値を求めよ。
テーマ 102 極値から係数決定
応用
明数 f(x)=x+ax"+ bx+cは x=-1 で極大値4をとり, x=1 で
「f(x)が x=α で極値をとる → f'(α)=0」 を利用。
x=-1 で極大値4をとる 一→ f'(-1)=0, f(-1)=4
x=1 で極小値をとる
f'(1)=0
文字3つに等式が3つできるから, a, b, cの値を求められる。
しかし,f(-1)=0, f'(1)=0 であってもf(x) が x=-1, 1 で極値をもつとは
限らない。
ーf(a)=0 であってもf(α) が極値とは限らない。
そこで,増減表を作って, 求めた関数が条件を満たすことを確認する。
解答
f(x)=x°+ax°2+bx+c を微分すると
f(x)=3x°+2ax+b
f(x) が x=-1 で極大値4をとるから
3-2a+b=0
f(x) が x=1 で極小値をとるから
f'(-1)=0, f(-1)=4
-1+a-b+c=4
f'(1)=0
よって
2
よって
3+2a+b=0
0, 2, ③ を解いて
このとき
a=0, b=-3, c=2
ーここで止めてはいけない。
f(x)=x°-3x+2
f(x)=3x°-3=3(x+1)(x-1)
したがって,右の増減表が得られ,
f(x) は条件を満たす。
a=0, b=-3, c=2
極小値0
x
-1
1
0
極大
極小
4
0
