⑶の最後のシャーペンで囲ったところがなぜそうなるのかわかりません

56 第1章 数列の極限 例題21 a1=4, an+1= 6 (n=1, 2,3,......) で定義される数列{an} について,次の問いに答えよ. (1) 1<a≦4 を示せ. (3) limam を求めよ. 1140 考え方 (1) 数学的帰納法を使う. n=kのとき, 1 <a≦4 が成り立つと仮定して n=k+1 のときも成り立つことを示す. 数学的帰納法と極限 an²+5 6 (2)(1)で示した 1<a,≦4 を利用できるように,Qn+1−1=ℓ 解答 (1) 1<a, ≤4 ･･ ① とおく . (I) n=1のとき, α=4 より ① は成り立つ. (II)n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると.. 1<a≦4 より る. (3)(2)で示した不等式を利用して, 例題 17 (p.47) と同様にして極限値を求めればよい。 数学的帰納法で示す。 (2) an+1−1= 21 つまり, 1<ak+1 <4 6 EV EV したがって,n=k+1 のときも ① は成り立つ . よって, (I), (ⅡI)より すべての自然数nについて 1 <a≦4 が成り立つ. 6 an+1 6 よって, 1²+5__a²+5_4²+5 6 6 6 an²+5 VII 6~1 an²-1 6 = (a + 1)(α =1) ここで、1<a≦4より, an+14+1 (2) an+1−1≦22 (an-1)を示せ . 5 6 6 OHA この形つくりたいから (an+1)の方もってくる (an+1) (an-1) ≤=(an — 1) ww 5 an+1−1≤ (an-1) ***** ….... ② (0) a2+5_1 の右辺を変形す 仮定した式について 1.各辺を2乗する。 2.各辺に5を加え 3.各辺を6で割る. 2150 PAR an+1−1 と an-1の 10 関係式にする. 因数分解して次数 下げるのと同時に (a-1)を作る. 各辺に1を加えて で割る. 0.0.9 an-1>0 >1より,

193.3 この記述でも問題ないですよね？？

304 00000 基本例題 193 導関数と微分係数 (1) 関数f(x)=2x+3x2-8x について, x=-2における微分係数を求めよ。 (2) 2次関数f(x) が次の条件を満たすとき, f(x) を求めよ。 A (1)=-3. f' (1)=-1, f'(0)=3 (3) 2次関数f(x)=x2+ax+bが2f(x)=(x+1)f'(x)+6を満たすとき,定数の b の値を求めよ。 基本191) Webs 指針▷ (1) x=q における微分係数 f'(a) は,導関数 f'(x) を求めて, それに x = a を代入する。 簡単に求められる。 f(x)は2次関数であるから, f(x)=ax²+bx+cとする。アーム ②2 導関数 f'(x) を求め, 条件をa, b, c で表す。(笑) ③3 a,b,c の連立方程式を解く。 (3) 導関数 f'(x) を求め,条件の等式に代入する。一(d+xp(s+xmi= →xについての恒等式であることから, α, 6の値が求められる。 (2) 解答 (1) f'(x)=2.3x2+3・2x-8・1=6x²+6x-8 したがって f'(-2)=6・(-2)^+6・(-2)-8 =4 J3 (0+20) (2) f(x)=ax2+bx+c (a≠0) とすると (1) f'(x)=2ax+b() a+b+c=-3 2a+b=-1 f(1)=-3 から f' (1)=-1から f'(0)=3 から これを解いて したがって (3) f(x)=x2+ax+bから 与えられた等式に代入すると b=3 a=-2,6=3, c=-4 f(x)=-2x2+33-4 f'(x)=2x+α 1-2x3. = (d+xb) = ( 2(x2+ax+b)=(x+1)(2x+α)+6 整理して 2x2+2ax+26=2x2+(a+2)x+a+6 これがxについての恒等式であるから、両辺の係数を比較 すると 2a=a+2, 2b=a+6 これを解いて a=2, b=4 ^²(6+x)) = (+2) -3r²-12r+5@r=1 / tu TUALET 微分係数 f'(a) の求め方 [1] 定義 (p.296 [①])に従って 求める [2] 導関数 f'(x) を求めて、 x=a を代入する。 の2通りがある。 例題 1931) では [2] の方法の方が早い。 なお、定義に従うなら f(-2+h)-f(-2) h f'(-2)=lim または f'(-2)=lim として計算。 ho x-2 f(x) f(-2) x-(-2) 係数比較法。 1

青チャートⅡ例題194で質問があります。 ②の式では 2（x -a）Q（x）＋（x−a）^2 Q'（x）＋p てなってるんですけど 右の黄色いマーカーで引いたとこによると n（ax＋b）^n−1（ax＋b）'の（ax＋b）'に該当するところが見つかりません。 この... 続きを読む

重要 例題34 (x-α)” で割ったときの余り(微分利用) xについての整式f(x) を (x-α)で割ったときの余りを, a, f(a), f'(a) を用 いて表せ。 指針整式の割り算の問題では,次の等式を利用する。 A = B XQ+ R 割られる式割る式余り 解答 f(x) を (x-α) 割ったときの商をQ(x) とし, 余りをpx+q とすると,次の等式が成り立つ。 ! 2次式(x-α)で割ったときの余りは1次式または定数であるから f(x)=(x-a)^Q(x)+px+q [Q(x) は, b, qは定数] 平 が成り立つ。この両辺をxで微分して、商Q(x) が関係する部分の式が =0 となるよう な値を代入すると, 余りが求められる。 f(x)=(x-a)^Q(x)+px+q... ① 1 両辺をxで微分すると \m f'(x)={(x—a)²}'Q(x)+(x− a)²Q'(x) + p (5)-(8)=2(x-a)Q(x)+(x-a)'Q'(x)+p ①,②の両辺にx=a を代入すると, それぞれ f(a)=pa+α ③, f'(a)=p ...... ...... p=f'(a) ...... 4 ② ④ から よって③から したがって、求める余りは xf' (a)+f(a)-af'(a) 人は p.303 参考事項 重要 55 [早稲田大〕 I◄{f(x) g(x)}' q=f(a)-pa=f(a)-af'(a)m) bes-8-8 余りの次数は、割る式の次 数より低い。 1800 = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) {(ax+b)"} =n(ax+b)" (ax+b) (p.303 参照。) P1+9の人 PC9を求めてる 305 6章 34 微分係数と導関数 この部分どこ いった

2分のxを微分したら2分の1になるのはなぜか教えていただきたいです。お願いします。

5の(3)の問題が分かりません 定数項とは 係数が1で、次数が最も大きいものであってますか？ そうだとすると、X18乗が定数項で答えは係数の1ではないですか 解答編持っているのですが答えは分かるのですが説明は理解できませんでした

二項定理 式の展開 二項定理と 係数決定 二項定理と 等式の証明 4 (3x-y) の展開式を求めよ。 ポイント1 3x-y=3x+(-y) として, 二項定理を適用。 パスカルの三角 形を利用してもよい。 重要例題 5 次の式の展開式における [ ]内の項の係数を求めよ。 5 (1)(2x+3y) [x°y2] (2) (5x2−2)® L [x] (3)(x-2) [定数項] ポイント② (a+b)" の展開式の一般項は " Cα"-"b" n 6 次の等式を証明せよ。 nCnC2 + · + (-1)^ * C₂ = (-²) ₁ nCn =(1)

17. 記述これでも問題ないですか？？

36 FREL 基本例題 17 分数式の恒等式 a/00000 次の等式がxについての恒等式となるように,定数a,b,cの値を定めよ。 -2x2+6 has b c (x+1)(x-1)2x+1 x-1+(x-1)^2 = 指針▷分数式でも,分母を0とするxの値 (本問では−1, 1)を除いて,すべてのxについて成 り立つのが恒等式である。 与式の右辺を通分して整理すると -2x²+6 a(x-1)²-b(x+1)(x−1)+c(x+1) (x+1)(x-1) 2 (x+1)(x-1)2 両辺の分母が一致しているから, 分子も等しくなるように, 係数比較法または数値代入法 でα, b,cの値を定める。 このとき, 分母を払った 整式を考えるから, 分母を0にする値 x=-1,1も代入してよい (下の 検討 参照)。 TRIAHO 解答 両辺に(x+1)(x-1)2 を掛けて得られる等式 -2x2+6=a(x-1)2-6(x+1)(x-1)+c(x+1) もxについての恒等式である。 解答1. (右辺)=a(x2-2x+1)-6(x2-1)+cx+c =(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c 2011 = OS=dA [S=08 よって 両辺の同じ次数の項の係数は等しいから a-b=-2, -2a+c=0, a+b+c=6 この連立方程式を解いて -2x2+6=(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c a=1,b=3,c=2 解答 2.① の両辺にx=-1, 0, 1 を代入すると,それぞれ 4=4a, 6=a+b+c, 4=2c この連立方程式を解いて 基本 15 16 a=1,b=3,c=2 このとき, ① の両辺は2次以下の整式であり,異なる3個の x の値に対して成り立つから,①はxについての恒等式であ る。 したがって a=1, b=3, c=2 (分母) ¥0 から (x+1)(x−1)²=0 係数比較法による解答。 「両辺の係数を比較して｣ と書いてもよい。 MEG 12-20 数値代入法による解答。 求めたa,b,cの値を① の右辺に代入し、 展開した ものが ① の左辺と一致す ることを確かめてもよい。 検討 分母を0にする値の代入 分母を0にする値x=-1, 1 を代入してよいかどうかが気になるところであるが, これは問題 ない。なぜなら、値を代入した式①は, x=-1, 1でも成り立つ整式の等式だからである。 すなわち、xにどんな値を代入してもよい。 そして,この等式が恒等式となるように係数を定めれば, 両辺を (x+1)(x-1)で割って る分数式も恒等式である。 ただし, これは x = -1, 1 を除いて成り立つ

（④）の解き方が分かりません。教えていただけると嬉しいです

2.3 次の極限を求めよ｡ x² + 3x X (1) lim (4) lim 2-1 x+1 (x-1)2 (1) lim X(X+3) 830 R

(2)についてです。 解説の7行目にある式で、左辺の-xは右辺ではどこへ行ったんですか？ 教えてください！

51. (1)の整式 P(x) を x-1 で割った余りが1, x-2で割った余りが 2,3で割った余りが3となった. △ P(x) を (x-1)(x-2)(x-3) 割った余りを求めよ. (2)は2以上の自然数とする. k=1, 2, 3, ….., n について, 整式 P(x) を xk で割った余りがんとなった. P(x) を (x-1)(x-2)(x-3). (x-n) で割った余りを求めよ. (神戸大)

なぜ実数解をrとおくのでしょうか？ xのまま計算にはいるのはダメなのでしょうか？？

第2章 高次方程式 **** 例題 42 係数に虚数を含む2次方程式の解 xの2次方程式(1+i)x2+(a-i)x+2(1-ai) = 0 が実数解をもつとき、 実数の定数aの値を求めよ.また,そのときの解をすべて求めよ. (慶應義塾大) 考え方 係数に虚数を含むので、判別式は使えない. 実数解をrとすると,もとの2次方程式は, (1+i)r²+(a − i)r +2(1-ai)=0 この左辺を A+ Bi=0 (A,Bは実数) の形に変形すれば A=0, B=0 である. (p.81 「複素数の相等」参照) 解答 この2次方程式の実数解を x=y とすると, ________________(1+i)r²+(a − i)r +2(1—ai)=0 30 (2²+ar+2)+(r²-r-2a) i=0$04 r, a は実数だから, Fod r2+ar +2=0 ………① r²-r-2a=0 ①② より (a+1)r +2(1+a)=0 (a+1)(r+2)=0 •2 Its =(8+)-1- したがって, (i)a+1=0 つまり, a = -1 のとき ① に代入すると, r2-r+2=0 ここで, 判別式 D=(-1)2-4・1・2=-7<0 rは実数であるから,不適 (ii) +2=0 つまり,r=-2のとき ①に代入すると これは②も満たす このとき, 与式は, a +1 = 0 または r+2=0 したがって, よって, (i), (ii) より, (1+i)x²+(3-i)x+2(1-3i)=0 (x+2){(1+i)x+(1-3i)}=0 x=-2, 1+2i ESA0 a=3, そのときの解 x = -2, 1+2i 100 + 4-2a+2=0 より,ca=3 <複素数の相等> A,Bが実数のとき バ A+ Bi=0 ⇔ A=0, B=0 実部と虚部に分ける. r²+ar+2, r²-r-2a は実数 a b が実数のとき, a+bi=0 ⇔a=0,b=0 a との連立方程式 r2 を消去して次数を下げ 実際に解くと, [~_=1±√7i それぞれの場合について、 もとに戻って調べる. r=-2 つまり 左辺は x+2を因数にもつ. 2 (1+i)x+(1-3i)=0 (1+i)x=-1+3i |-1+3i=1+2i x=- LI

61.1 このような記述でも大丈夫ですよね？？

0000 式という えると の2 a+by^- 201 X [日本 2行目の式 1 x 解答 を断ってから 一割る。 なお (1)xを1の3乗根とすると 程式の左 ゆえに x³-1=0 (左辺=2 したがって を入れ 1-1- x この式と 1 ot Hit 基本例題 61 (1) 1の3乗根を求めよ｡ (2)1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをとする。 (ア)2も1の3乗根であることを示せ。 1 えることが 1 指針 (1) (2) (1) w²+w³, +1+1, (w+2w²)²+(2w+w³²)² iznenkok. 2 (2) ア @= これを解いて, 1の3乗根は -1+√3i 2 練習 61 1の3乗根とその性質 基本58 3乗してαになる数,すなわち、方程式x=αの解を,αの3乗根という。 (1)で求めた方程式x=1の虚数解を2乗して確かめる。 (ア) (イ)は方程式x²+x+1=0, x=1の解→ ²+ω+1=0, ω²=1 2 -√3 i 4 口を よって, w2も1の3乗根である。 -91+2 (1) ω は方程式x+x+1=0, x=1の解であるから ω'+ω+1=0,ω'=1 よって x-1=0 または x²+x+1=0 -1+√3 i 2 とすると i 0 ² = ( = 1 + 2√³²)² =. 1-2√3 i+3i²_-1-√3i 2 とすると x³ =1 「POINT｣ 1. w²=(1-√3i)°_1+2√3i+3p _ _1+√3i 2 141 w² (x-1)(x²+x+1)=0 w²+w=(w³)² w+(w³) ² w²=w+w²=-1 w+1+w² w² よって また -=0 W ω'+ω+1=0から, w2=-ω-1 となり (w+2w³)²+(2w+w³)² = {w+2(-w-1)}²+(2w-w-1)² =(-w-2)²+(w-1)²=2w²+2w+5 +1= =2(-ω-1)+2+5=3 00000 (1) 200+50 (3) (w200+1)100+(ω100+1) 10 +2 3次方程式の解は複素数の 範囲で3個。 ω はギリシャ文字で､ オ メガ」と読む。 (検討) x=1の虚数解のうち、どち としても,他方が となる。よって、1の3乗根 it 1, w, w¹ ω'=1 を利用して, 次数を 下げる。 ω=-ω-1 を利用して、 次数を下げる。 12(w²+w+1)+3=2-0+3 としてもよい。 1の虚数の3乗根の性質 ①2+ω+1=0 ② ω'=1 がx2+x+1=0の解の1つであるとき,次の式の値を求めよ。 1 1 w² p.110 EX44 99 2章 11 高次方程式