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基本 例題170 曲線の接線の長さに関する証明問題
00000
それぞれ A, Bとするとき, 線分ABの投さはPの位置に関係なく る。
(類岐阜大,
基本 165
とを示せ。ただし, Pは座標軸上にないものとする。
o
あることを示すには, AB”が定数(s, tに無関係な式)で表されることを示す
解答
0とする。
(0<2)224=+た
のはxを一xに, yを-yにおき換えても成り立つから, 曲線
のはx軸, y軸,原点に関して対称である。
よって, 点Pは第1象限の点としてよいから,
P(s, t) (s>0, t>0) とする。
B
P
0
D-
D
X
D-
*>? (0<b '0<のb=1k 4=Sん
ly=asin'g
9:S00D-x」
x>0, y>0のとき, ① の両辺をxについて微分すると
(*) 累乗根の形では表記
紛れやすくなるので, ;
をおき換えるとよい。
2y
0=
3/x3/y
ゆえに ゾ=ー/
x
よって,点Pにおける接線の方程式は yーt=-
S
(S-x)
ゆえに
b+(4-x)-=
カ=1 ',4=s>
のでy=0とすると x=が+g?
x=0 とすると y=がロ+q
A(が(が+q°), 0)
: B(0, q(が+q"))
4(xーガ)+ダ
ー=0>
AB'={が(が+q°)}?+{q(が+)}?
=(が+)(が+)ー(が+)
=({5+¥ ( =α
両辺にかを掛けて
4+,40+xb_=0
bd+,4=x
2C
ゆえに
したがって, 線分 ABの長さはaであり, 一定である。
0<D>
参考 曲線+ア= (a>0) … ① は媒介変数0を用いて
「=acos'0
ソ=asin'0
のと表
0.137 のハイポサイクロイドの式でb=-
としたものは、2 と同値である。
4
