積分漸化式です。 (4)は、I(m+n-1，1)が現れるまで繰り返すようですが、このm+n-1と1はどのようにして出てきたのですか？

思考プロセス ★★★ 例題244 mnを自然数とする。定分I(mm) = f(x)dx について (1) I(m, 1) を求めよ。 (2) I(m,n)=I(n, m) を示せ。 (-)-40- (3) n ≧2のとき,I(m,n) をI(m+1, n-1)を用いて表せ。 (4) I(m,n) をm, nを用いて表せ。 《@Action 対応を考える 積分漸化式は, 部分積分法や置換積分法を利用せよ (2) I(n, m) = -S₁x (1-x) dx X 1 (m, n) = √ √x (¹²) (4) (3) ← とおく (3) I(m,n) とI(m+1, n-1)の関係を考える。 I(m,n) = x" (1-x)"dx← = S²² 次数下がる (微分) x (1-x) dx 次数上がる (積分) I(m+1, n-1)= = Sx (1) I(m, 1) = +1 I(m,n) = /(m+1, n-1)=... -1 =√₁ (x² fx™ (1-x) dx xm-xm+1)dx 等しいことを示す。 |x+1 (1-x)"-1dx xm+1 .m +1 mm +2 m+2 (2) 1-x=t とおくと, x=1-t であり dt dx =-1 xtの対応は右のようになるから I(m,n)= -L₁₁ 1 1 1 m+1 m+2 (m+1)(m+2) (1-t)mtn (-1)dt 積の形であるから, 部分積分法 (,1) (1) の利用 x 0→1 t 1 → 0 =fra-t)"de - L'x²-x)- =fx x"(1-x)"dx = I(n, m) ( 東京電機大) 例題243 部分積分法を用いて求め ることもできる。 ola dx=-dt MGA ¶ (3) n ≧2のとき I(m, n) = (43)より、 北m+1 [***(1-x) dx = f(+1)(1-x)" de Sx d= m+ dx mm+1 ・ (1 − x)" ] ) + S •n(1-x) dx xm4 m+1 I(m, n) n m+1 n m+1 m+1 m+1 Jo n m+1 ≧2について n m+1 n-1 m+2 JM +1 1 (1-x)"-1 dx I(m+1, n-1) -I(m+1, n-1) I(m+2, n-2) . n-2 n-1 m+2 m+3 2 m+n- n! (m+1)(m+2)(m+n-1) m!n! (m+n+1)! これは,n=1のときも成り立つ。 したがって I(m,n)= I(m+n-1,1) 1 (m+n)(m+n+1) m!n! (m+n+1)! (x) B(p,q+1)= 4 B(p, q) p+q たが, b, gが正の数であるときの定積分 B(p, y) = 数と呼ばれている (大学数学の内容)。 ベータ関数には次のような性質がある。 (ア) B(p, g) = B(q, b) (イ) pB(p,q+1)=qB(p+1,q) (ウ) B(p +1,g)+B(p, g+1) = B(p,q) 部分積分法を用いる。 √x+(1-x) dx =I(m+1, n-1) I(m, n) n m+1 I(m+1, n-1) -I(m+1, n-1) n-1 m+2 I(m+2, n-2) I(m+2, n-2) n-2 m+3 これらの関係を I (m+n-1,1) が現れる までくり返す。 (m+1)(m+2)(m+n+1) I(m+3, n-3) Point ベータ関数 例題244では,m,nが自然数であるときの定積分I(m,n)= = fox" x" (1-x)"dx を考え P1(1-x)dx はベータ関 (m+n+1)! m! 例題244 (2) と同様 例題244 (3) と同様 6章 定積分 ■244 例題 244 の結果を用いて, 定積分 ∫ x (1-x)* dx を求めよ。 また,自然数 m, nに対して S" (x-a)(x-B)" dx を求めよ。 p.445 問題244

積分の質問です！ （2）の青線で囲ったxについてなんですけど、例えば（1）とかだったらこの場所にグラフをそのまま入れてると思うんですけど、（2）ではグラフ（y＝－cosx）を入れずにxを入れてるのはなぜですか？この場所にグラフを入れたらどうしてダメなのかも教えてもらえると助... 続きを読む

基本 例題251 曲線x=g(y) と軸の間の面積 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 (1) y=elogx, y=-1, y=2e, y 軸 解答 COS X 指針>まず, 曲線の概形をかき、 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 ( y=elogxをxについて解き”で積分するとよい。････ ・・・・・・についての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (2) (1)と同じように考えても,高校数学の範囲ではy=-cos.x を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 (1),(2) ともに解] のような, 長方形の面積から引く方法 でもよい。 (0≤x≤n), y=1/2 y=- y=elogxから 1≦y≦2e で常にx>0 よって s={²₂e²dy=[e•e²1²₁ =e.e² - e•e-²/ =e³-e¹-² (2) y=-cosx から よって 3 ついての積分だかいつについて解 t x=el 6 dy=sinxdx -[-x Cosx] + S²² COS xsinxdx - - - - - - (- 12) + 5 - 12/12 3 + sinx cosxdx +0=1/22 y 2e 1 2、 S 2, 3 y YA X 0 -1 e². 1 S 2e+1 |1|2|3| x=e 424 基本事項 [3] HINNO k 1 2 → 3 y=-cost π 70 yk d C S =2e³+e² 重要 263 - x=g(y) 常に g(y)20 (1) の (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) s=$g(y)dy -Surf (elogx+1)dx - [(x logx-x)+1]"} =e³-et- (2) の 別解 (上と同じ方法) s - - - - - ( + - + + 1/2 ) S= -√(-cosx + 1)dx =x+(sinx-x]= 42 - Telite²x da =((²x)

t=cosxとおくと上手くいきますが、 t=sinxとおくと上手くいきませんよね？ どう考えてt=cosxとおけばいいと考えるのですか？

基礎問 154 第6章 積分法 84 tanx の積分 置換積分法を用いて, 不定積分 ∫tanzdz を求めよ. 置換積分の公式は,一般に次のようにかかれます。 精講 ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(t)dt (g(x)=t) でも,これでは何のことやら意味がわからない人もいるはずです.そこで の手順を頭に入れておくとよいでしょう. あるxの式g(x) を=t とひとまとめにおくとき, dx のところを dt -=g'(x), すなわち, dx 形式的に dt=g' (x)dx を用いて, dt にかえておく. 置換積分については,このあと 86 以降でもっと詳しく勉強していきます. 解答 Stanzdraineeds において, = cosx=t とおくと, ... COS ポイント 演習問題 84 dt dx tanzdr=-|4 = =-sinx‥. -dt=sinxdx Stan -S4=-log|t|+C =-log|cosx|+C (C:積分定数) tanrdx==log|cosxr|+C 注 これは覚えておくか, いつでも導けるようにしておきましょう. 置換積分法を用いて, dx tan x S 83 を求めよ

(2)です。 赤の波線部はとのように変形したのでしょうか？ 教えてください！

基本例題 257 曲線x=g(y) とy軸の間の面積 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 (1) y=elogx, y=-1, y=2e,y軸 (2) y=-cosx (0≤x≤π), y= 1/1/23 指針 y= 1 2,y軸 まず, 曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) y=elogxをxについて解き で積分するとよい。...... ...... x についての積分で面積を求めるよりも, 計算がらくになる。 (2) (1) と同じように考えても, 高校数学の範囲では y=-COS x を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 なお,(1,2ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く 方法 [S] でもよい。 00000 p.424 基本事項 3 YA d C 重要 263 S x=g(y) 常に g s=Sg

写真の指針にある逆関数の性質について理解しきれておらず、使いこなせません。そのために、(2)がどういう意味をもって成り立っているのかもよくわからない状態です。 逆関数そのものに対する理解もxとyが逆になっているというぼんやりとしたイメージのままなのですが、何かいい解釈の仕方... 続きを読む

重要 例題 238 逆関数と積分の等式 (1) f(x)= のとき, y=f(x) の逆関数 y=g(x) を求めよ。 (1) の f(x), g(x) に対し,次の等式が成り立つことを示せ。 Sof(x)dx+$100g(x)dx=bf(b) -af(a) 解答 指針 (1) 関数 y=f(x) の逆関数を求めるには, y=f(x) をxについて解き, xとyを交換する。 (p.166 基本例題 95 参照。) (2)(1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)=x=g(y) を利用。 すなわちy=g(x) ⇔ x=f(y) に注目して, 置換積分法により, 左辺の第2 (1) y= ex ex+1 ex ex+1 ①から ②から f(b) 項Sa g(x)dx を変形することを考える。 f(a) ①の値域は (ex+1)y=ex ex== 0<y<1 ゆえに よって (1-y)ex=y x=log V 1-y 1-y 求める逆関数は,xとyを入れ替えて g(x)=log cf (b) (2)=g(x)dxとする。 f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) より x=f(y) ゆえに dx=f'(y)dy また g(f(a))=a, g(ƒ(b))=b x f(a)→f(b) xとyの対応は右のようになる。 y a → b よって ゆえに (3)]-SS(v)dy 1=Sys(y)dy=[ys = bf (b) -af (a) -Sof(x)dx Sof(x)dx+Sg(x)dx=bf (b)-af (a) [東北大] p.390 基本事項 ①.基本 95 [参考 (2) の結果は, f(x) = ex ex+1 f(x) は単調増加または単調減少),微分可能であれば成り立つ。 まず, 値域を調べておく。 <xについて解く。 ex=A⇔ x=logA [定義域は 0<x<1 YA 1 f(b) f(a) 0 1 2 a T S b X s=Sof(x)dx, *f(b) T-Sha g(x)dx = f(a) (2) の等式の左辺の積分は, 上の図のように表される。 (0<a<bのとき) でなくても,一般に,関数f(x) の逆関数が存在して(すなわち

矢印で指したところって勝手にtをxに入れ替えちゃっていいんですか？

重要 例題 237 定積分と漸化式 (2) nを0以上の整数として,Imm = for sin" x cos" xdx とする。 m, 次の等式を証明せよ。ただし, sin"x=cos"x=1である。 (1) Im.n=In.m (2) Im.n=- n-1 解答 よって (1) sin (1) x=- xtの対応は右のようになる。 練習 237 =tとおくと dx=-dt ゆえに sin 2 −x=cosx, cos z −x)=s (2) n≧2のとき Ssin"x cos" xdx=f(sin" x cosx)cos" 190 sin"+¹x cos"¯¹x __ x=tとおき換えて計算し、後で変数をxに直す。 (2) sin" xcosx=(sin" xcosx) cos"-'xとして部分積分法を用いる。.… , sin+2x cos2x=sin" x cos"-2x-sin" x cos" x S A. ①②から したがって sin (1) St Im.n=sin" x cos" x dx =S₁ sin"( 7 —t)cos"( 7 −t)·(−1)dt=S," sin"x cos™ xdx=In.m m+1 ¹x cos' m+1 Im,n= m+1 -1x ** Ssin+2 x cos"-²x dx=Ssin" x cos"-²x(1-cos²x) dx sin sinx cos³x dx m+n Im.n-2 (n=2) + n-1 m+n =sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し、 P.390 基本事項 ②. 重要 218,236 m+n t -Im.n-2 +45 上の例題の等式を利用して,次の定積分を求めよ。 0-> m+1 xdx= [(in)cos xdx m+1 Ssin" x cos xdx= sinm+¹xcos"-1x n-1 + m+n sin" x cos"-2x dx m+n. m+1 | sin"xcos®xdx=[sin"#harcox ] + màn sinh xoot xoa 2 n-1 c cos2xdx Jo 345Bons. n-1 π 2 sin"+¹x.(n-1) cos™-²x(−sinx)dx__ m+1 n-1Ssi m+1. 7/ -Ssinxcos-xdx-Ssin" x cos" xdx ( ) = (2) - (x →0 sin ²xcos"-2x dx...... (2) S. ² sinxcos’xdx S 2 + x(x) ²7 395 BES p.398 EX195 7章 3 定積分の置換積分法・部分積分法 34 1231

⑵の質問です。 解説4から5行目でインテグラルを付けても方程式が成り立つのは何故ですか？

388 ROKUREY 重要 例題 232 置換積分法を利用した定積分の等式の証明 (1) ①① ①00 f(x) は連続な関数, α は正の定数とする。 (1) 等式Sof(x)dx=Sof(a-x)dx を証明せよ。 ca ex (2)(1)の等式を利用して,定積分 Sox fea-xdx を求めよ。 201 (2) f(x)=- ex とすると, f(a-x)= ex- tea-x ea-x ea-x tex このことと (1) の等式を利用して方程式を作る。 解答 (1) a-x=t とおくと x=a-t ゆえに dx=-dt xとtの対応は右のようになる。 よって 指針 (1) a-x=t とおくと, 置換積分法により証明できる。 なお, 定積分の値は積分変数の 文字に無関係である。すなわち Sof(x)dx = Sof(t)dt に注意。 は、逆 (2) I=S ca ex Jo ex +eª-x² また ゆえに f(x)+f(a-x)=1 よって Sof(x)dx + Sof(a-x)dx=Sodx ゆえに I+I=a したがって 1 (右辺)=Sof(a-x)dx=Sof(t)(-dt) = Sof(t)dt を考えSof(x)dx=(左)&hlol-43) dx とし, f(x)=- ex とする。 (1) の ex tea-x 等式 Sof(x)dx=Sof(a-x)dx から I=Sof(a-x)dx f(x)+f(a-x)=x-x+poster x 借りて、求めにくいf(x)=- t e ess a-x 0 → a a → 0 であり + 1)²0 (- a I= 1=002 + (²013) (1) 基本 228 f(x)+f(a-x)=1 UFC (CTEN pie- 重要 233. AGERE S'f(x)dx >= f(x) dx 定積分の値は積分変数の 文字に無関係。 (nie) ① (1), (2) の問題 結果の利用 15:51) 検討ペアを考えて利用する (2) の解答では,(1) で示した等式S。f(x)dx=S。f(a-x)dxと関係式f(x)+f(a-x)=1の力を ex tea-x extea-x=1 <Sidx は fax と書く。 ◄ S₁dx=[x]" = a の定積分を求めた。 このように, f(x) だけでは扱いにく ex tea-x くても、f(x) f(a-x) のペアを作ると扱いやすくなる場合があることを覚えておくとよい。

⑴の質問です 解説3から4行目で、 (tan²θ+1)cosθ=1 になるのは何故ですか？

384 基本例題 230 定積分の置換積分法 (3) …x=atan0 次の定積分を求めよ。 dx (1) SY³ 1 x2+3 解答 (1) x=v 指針 例題 229 と同様に, 置換積分法により定積分の値のみが求められる問題である。 3 da * 054) (1) x=√3tan とおくと x²+(√3)=(√3)"(tan²0+1)= COS20 (2) 分母を平方完成すると x2+2x+5=(x+1)^+4 よって, x+1=2tan とおく。 CHART 1 x² + a² = =√3tan 0 とおくと- on xと0の対応は右のようになる。 x2+3 3 π の定積分x=atan0 とおく 202 √3 cos² fdo 4 dx=- 200 TC √3 dx √3 4 よって -do _*-7 S₁² +²+3=5+3(tan²0+1) ³0 S cos COS20 よって√3 dx (2) S²₁x²+2x+5√ RE do= 00000 ALORS 4* x 000 201 0 π √√3 4 √3 -o-o-¹³(-) -- √3 0 = 3 π 3 4 6 36 6 050 800 050800 π 1 → √3 TOD 6 π 4 基本229, p.369 参考事項) 850 830-2020 (1) 1≤x≤√312 π s を対応させる 6 と、異なる結果になるが、 tan0は0= で定義され ないからで、このような対 応は誤りである。 x=tanについては普通

⑵の質問です dtをどのように求めているのですか？

基本 例題228 定積分の置換積分法 (1) ・・・ 丸ごと置換 次の定積分を求めよ。 •4 x S₁ √5-x dx ③ t の定積分として計算する。 15-x=t とおくと,x=5-f2から dx=-2tdt xtの対応は右のようになる。 定積分の置換積分法 おき換えたまま計算 積分区間の対応に注意 dx dt •4 を求める(または dx = dt の形に書き表す)。 の式の一部をとおき, す 石のようにょ (1) √5x=t, (2) 1+sin'x=t とおく(丸ごと置換)。 よって Sixd √√5-x S₁5²dx=S₁5-1²-(-21)dt Ⓒ 【このことは置換積分法を用いて不定積分を求めるとき(p.359) とまったく同様。] ② xの積分区間に対応したもの積分区間を求める。 (1) なら,xが1から4に変化するとき,tは2から1に変化 する。この対応は、右のように表すとよい。 (2) 1+sin'x=t とおくと (2) =2 2sinxcosxdx=dt←? とその対応は右のようになる。 TL よって sinxcosx S& 1+sin'x 別与式)= = 25, (5-1²)dt =2[5t-1₁ -2|(10-)-(-)-1 1+sin2x B= p.380 基本事項 ① 基本 213 sinxcosx x = 1²₁²/17 • ²2 dx=1 1+sin²x 01 =12110gt=212(10g2-1)=1/12/10g2 -dt 3 ラーメニムとおくと、分数・ートが面倒…. t log2 -dx 1 → 4 2→1 = 16 3 GROO 2 π x 0 → Ⓡ - S ² = S²₁ 2 t → 2 重要 232,233 C 0≤x≤ (0) 加。 = 1. (1+sin'x)dx=12/10g(1+sin'x) | = 1/log2 *)=√( ²/1/1/1 . 20 2 x t 1 → 4 2→1 4 ( t は単調減少) Ax=g(t) で, a=g(x), b=g(β) のとき Sof(x)dx=Sf(g(t))g(t)dt -t=√5-x x≦2のとき, 5 x inx (20) は単調増加。 =1+sinåx も単調増 (分母の形。 (分母) 381 7章 34 定積分の置換積分法・部分積分法

四角で囲った部分が何故そうなるのかが分からないので教えてほしいです！

396 重要 例題 238 逆関数と積分の等式 (1) f(x)= ex ex+1 (2) (1) f(x),g(x) に対し, 次の等式が成り立つことを示せ。 Sof(x)dx+S7100g(x)dx=bf(b) -af(a) 解答 (1) y= 指針▷ (1) 関数 y=f(x) の逆関数を求めるには, y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。 (p.166 基本例題 95 参照。) -nie (1) (2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x) を利用。すなわち y=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により、左辺の第2 ①から ②から ex ex+1 のとき, y=f(x) の逆関数 y=g(x) を求めよ。 0 項Sa g(x)dx を変形することを考える。 f(a) よって (e*+1)y=e* e²= 1²-y 求める逆関数は,xとyを入れ替えて g(x)=log- cf (b) (2)=g(x)dxとする。 f(a) ①の値域は 0<y<1 練習 ⑩ 238 って① (2) ゆえに (1-y)ex=y よって x=log f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y) ゆえに dx=f'(y) dy また xとyの対応は右のようになる。 g(f(a))=a, g(f(b))=6 y I= i=S® yf'(y)]dy=[wf(y)]* -S°ƒ(v)dy a =bf(b) -af (a)-Sof(x)dx y 1-y the ゆえに Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af (a) 1-x xf(a)→f(b) a → b [ 東北大] p.390 基本事項 1 基本 95 まず, 値域を調べておく。 <xについて解く。 ARO13 ex=A⇔ x=logA 定義域は 0<x<1 YA 1 112 f(b). f(a) x=g(y) 0 2 a T S b X s=Sof(x)dx, T=S6g(x)dx f(a) (2) の等式の左辺の積分は, 上の図のように表される。 ( 0<a<bのとき) ex 参考 (2) の結果は, f(x)=1 でなくても,一般に,関数f(x) の逆関数が存在して(すなわち ex+1 f(x) は単調増加または単調減少),微分可能であれば成り立つ。Boox "nias 2 3x0 aを正の定数とする。 任意の実数x に対して, x = atany を満たすy π ( - 1 / < y < を対応させる関数を y=f(x) とするとき, f(x)dx を求めよ。 2 2 18 ②1 Ⓒ1 3