Question

ゆー

矢印で指したところって勝手にtをxに入れ替えちゃっていいんですか？

重要 例題 237 定積分と漸化式 (2)
nを0以上の整数として,Imm = for sin" x cos" xdx とする。
m,
次の等式を証明せよ。ただし, sin"x=cos"x=1である。
(1) Im.n=In.m
(2) Im.n=- n-1
解答
よって
(1) sin
(1) x=-
xtの対応は右のようになる。
練習
237
=tとおくと dx=-dt
ゆえに
sin 2 −x=cosx, cos z −x)=s
(2) n≧2のとき
Ssin"x cos" xdx=f(sin" x cosx)cos"
190
sin"+¹x cos"¯¹x __
x=tとおき換えて計算し、後で変数をxに直す。
(2) sin" xcosx=(sin" xcosx) cos"-'xとして部分積分法を用いる。.…
, sin+2x cos2x=sin" x cos"-2x-sin" x cos" x S A.
①②から
したがって
sin
(1) St
Im.n=sin" x cos" x dx
=S₁ sin"( 7 —t)cos"( 7 −t)·(−1)dt=S," sin"x cos™ xdx=In.m
m+1
¹x cos'
m+1
Im,n=
m+1
-1x
** Ssin+2 x cos"-²x dx=Ssin" x cos"-²x(1-cos²x) dx
sin
sinx cos³x dx
m+n Im.n-2 (n=2)
+
n-1
m+n
=sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し、
P.390 基本事項 ②. 重要 218,236
m+n
t
-Im.n-2
+45
上の例題の等式を利用して,次の定積分を求めよ。
0->
m+1
xdx= [(in)cos xdx
m+1
Ssin" x cos xdx=
sinm+¹xcos"-1x n-1
+
m+n
sin" x cos"-2x dx
m+n.
m+1
| sin"xcos®xdx=[sin"#harcox ] + màn sinh xoot xoa
2
n-1 c
cos2xdx
Jo
345Bons.
n-1
π
2
sin"+¹x.(n-1) cos™-²x(−sinx)dx__
m+1
n-1Ssi
m+1.
7/
-Ssinxcos-xdx-Ssin" x cos" xdx
( ) = (2) - (x
→0
sin ²xcos"-2x dx......
(2) S. ² sinxcos’xdx
S
2 + x(x) ²7
395
BES
p.398 EX195
7章
3 定積分の置換積分法・部分積分法
34
1231

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

sa

(1)のはじめにx=π/2-tと置いているので変換しています。

ゆー

ありがとうございます！