数学の質問です 楕円の焦点についてなのですが、焦点の公式を忘れた場合、三平方こ定理を使うと求められると書いてあるのですが、図のAPの長さがなぜaになるのかがわかりません 教えてください、お願いします。

P(x,y) JOS だ円については,次の知識が必要です。 精講 <定義> 2つの定点A,B からの距離の和が一定の点Pの軌跡, すなわち. AP+BP=一定(一定値は長軸の長さ) 〈標準形〉 (横長のだ円) 2 .2 0+0=1 (a>b>0) で表される図形はだ円で, 62 ●中心は原点 ● •焦点は (±√²-620) yap もし忘れたら,Pを軸上にとって三平方の定理 を使うと求められます. O 長軸の長さ: 2a, 短軸の長さ: 26 ● 2-62 ● ・だ円上の点 (x1,y) における接線の方程式は X1X -+ Yıy a² 62 解 (1) C: (x−5)² + (y + 1)² 52 42 -=1をx軸の正方向に - 5,y軸の正方向に 答 ax

数Ⅲです。 写真は教科書に載っている、楕円の標準形を導く途中式ですが、√(a²-c²)=bとおけるのは何故ですか？ 予習の段階なので初歩的な質問ですみません🙏🏻回答お願いします🙇🏼‍♀️

のを楕円の方程式の標準形 という。楕円 ① とx軸,y軸の交点 を楕円の頂点といい, 線分 AA'を長軸, 線分 BB'を短軸という。 楕円の方程式 を通 い 定直線/からの距離 2点F(c, 0), F'(一C, 0) を焦点とし, 2 の ox P(x, y) 点からの距離の和が2aであるような楕円の 方程式を求めてみよう。 ここで, a>c>0 \F(-c,0) |0 F(c,0) x である。 0 楕円上の点をP(x, y) とすると, PC 松点就 SB 0 PF+PF' = 2a より (x-c}+y? +x+c+y° =D 2a = 2a-(x-c +ye のた! よって (x+c+y° 両辺を2乗して ①左さで ー 人分 (x+c)}+ y? = 4a-4a/(x-c) + y° +(x-c)+y %3D 2 これを整理すると a(x-c)+y° ="-cx ふたたび両辺を2乗して整理すると 図 (a°-C)x+α°y=Dα'(α°-C) a>c>0 であるから,/a-c =6 とおくと,a>b>0 であり 料点町 4- 2 6°x°+α'y° =D α°6 .2 ジ+ -1 したがって x の 6° 28 A(a, 0), B(0, 6), B'(0, -6)

(2)の解説3行目の式はなぜ=-1なのですか？公式通りなら1な気がします。またその2行下の2b=1はどうやって立式したんですか

第 10 基礎問 3 双曲線(I) 次の問いに答えよ。 を求めよ。 (2) 2つの定点 A(1, 2), B(1, 4) からの距離の差が1となる点P(x ) の軌跡の方程式を求めよ。 (3) 点(1,0)を通り, 双曲線 -=1 に接する直線の方程式を求め上 4 双曲線については, 次の知識が必要です。 〈定義) 精講 Y4 =0 a 2つの定点 A, Bからの距離の差が 一定の点Pの軌跡, すなわち, ーa+6? Ya'+6? a |AP-BP|=一定 ao A B (一定値は頂点間の距離) (標準形)(主軸 :軸) =0 ャ=1 (a>0, b>0) で表される図形は, 双曲線で 中心は原点 焦点は(土/α+6, 0) ((定義) では A, Bが焦点) . 漸近線はニェー=0 ·頂点は (土a, 0) a 双曲線上の点(x), y)における接線の方程式は C1x Y1Y -=1 6° a° 解答 (1) 4.2°ーy-16.c+2y-1=0 →4(z-2)?-(y-1)。=4° (エ-2)_(y-1) : _ 4 =1 2 y? 2° 漸近線は,号ェ=0, すなわち, y=±2.z 22 ここで,双曲線 ャ-1 の焦点は(土2/5, 0) 2 SA

標準形って暗記物ですか？ 例えば写真右側の問1⑴を解く時には、 p=1だから、焦点(p,0)と準線x=-pのpに1を代入する という流れで解けばいいのでしょうか？

1章 平面上の曲線 1節 2次曲線 7 6 例 1 放物線 y°=x は 1 回2次曲線 y=4· デー 1 x 11 放物線 と表すことができるから, 1o 4 1 4 2次関数 y= ax'+bx+c のグラフが放物線を表すことは数学Iで も点は(0 半線は x= 4 んだ。一般に,放物線は次のように定義される。 平面上で,“定点Fからの距離と,Fを通らない定直線/からの距離が 等しい点Pの軌跡”を放物線といい,点Fを焦点,直線lを準線という。 である。 5 問1 次の放物線の焦点と準線を求め,その概形をかけ。 (1) y? = 4x (2) y° = -6x (3) 2y = x 放物線の方程式 例2 焦点が(2, 0), 準線が x=-2 である放物線の方程式は 焦点Fを(2,0), 準線しをx=ーbとす る放物線の方程式を求めてみよう。 y? =4.2x すなわち y= 8x Q丘 P(x, y) 5 問2 焦点が(,0), 準線が x=ー である放物線の方程式を求めよ。 2 10 放物線上の点P(x, y)から1に下ろした 10 垂線を PQとすると, PF= PQ より (xーが+y =|x-(ーか) b0 F(b,0) x y軸上に焦点をもつ放物線 両辺を2乗して 前ページの放物線の方程式①におい (xーが+y = (x+か これを整理すると て,xとyを入れかえて得られる方程式 x°= 4py P(x,y) y= 4px 0を放物線の方程式の標準形 という。 の 15 F(0,p) が表す図形は,右の図のような放物線で 15 一般に,放物線において,焦点を通り準線に垂直な直線を放物線の 細 といい,軸と放物線との交点を放物線の 頂点という。 ある。 0 Q この放物線の焦点は (0, か), 準線は 放物線は,軸に関して対称である。 y こか,頂点は原点,軸はy軸である。 放物線の性質 次の放物線の焦点と準線を求めよ。 (2) x° = - 12y 問3 20 放物線 y° = 4px について (3) y=x° 20 (1) x° = 8y 焦点は(b、0) 問4 次の放物線の方程式を求めよ。 頂点は原点(0, 0) 準線は x=-p 3 (2) 頂点(0, 0), 準線 y= 8 軸はx軸(y= 0) (1) 焦点(0, 4), 準線 y=-4

(2)です。｢頂点が直線x＝2x-1上にあるから頂点は (p,2p-1)とおける｣という意味がよく分かりません🙇‍♀️ 教えてください！

2次関数の決定(2] Soadi 例題 74 グラフが次の条件を満たすような2次関数を求めよ。 頂点がx軸上にあり, 2点(4,4), (0, 36) を通る。 (2r y= 2x° のグラフを平行移動したもので,点 (2, 3) を通り,頂点が直 線y= 2x-1上にある。 条件の言い換え 頂点に関する条件に (1) 頂点がx軸上にある (2) 頂点が直線y= 2x-1上にある y= 2x° のグラフを平行移動したもの →xの係数は2(例題 59参照) を引いた。 50 頂点は(か, 0) とおける →頂点は(か, 2カ-1)とおける → Action》 2次関数の決定は, 頂点に関する条件があれば標準形でおけ 思考のプロセス

疑問点が出たので自分なりに整理しましたが，何だか理解ができてない気がします。ですので、なぜX＝3aになるのか教えてほしいです！

(er2)軸x=1であり, 2点(2,5) と(-1,8) を通る (i)軸と通る2 2次関数を決定しよう。この標準形を, v=a(x-p)+q …… これを①に代入して,y=a(x-1)?+q 2'は2点(2,5) と(-1,8) を通るので, これらを②’に代入して .② とおくと, この軸x=1(=Dp)より, ………②'となる。さらに, J=- y2) 5=a+q …3 (5=a(2-1)?+q 18=a(-1-1)"+q より, となる。 8=4a+q… の まれば 1o4-pX9 aaを の-3より, 3= 3a これを③に代入して,5=1+q '.q=4 これらを②'に代入すると,この2次関数の方程式は,、 y=1·(x-1)+4より,y=(x-1)?+4 と決定できるんだね。 .x= 3a 当が決

標準形になおすとき、以下のことが疑問です。 Q なぜマイナス1ではない？

(c)放物線y=2r:1 4x-1の頂点の座標と軸を求め,そのグラフの概形 xy 座標平面上に図示してみよう。 それじゃ,まず標準形に直してみよう。 y=2r'-4.x-1- 一般形)(xの係数が2より,下に凸の放物線 = 2(x°- 2.x) - 1-2x-4xからょの係数2をくくり出す。 w = 2(r°-2.x+1)-1-2 2をたした分,引く! 2で割って2乗

最後の変形について。 写真三枚目のような式でもOKですか？

それじゃ,最後の3番目のタイプ(i)一般形:y=ax'+bx+c(aキ0) O についても解説しておこう。2次関数は一般に, この形で表されることが 多いので、“一般形” と呼ばれるんだろうね。この一般形で表された2次 O た 問数も,標準形:y = a(x-p)*+qの形で表すことが出来る。ポイントは ar'+bx の部分を“平方完成” の形にもち込めばいいんだよ。つまり, 一般形y=ax'+bx+c (aキ0) =バ+ b x+c ax"+ bxから, aをくくり出した。 6° =+r+(会}+c-a-( - b b 2 b 2a 2で割って2乗 2 平方完成! b をたした分,引く! 、2a) a b r+ 2a b? 4a 2 123 5 と計題 データの分析

写真二枚目のの疑問点について、答えてほしいです。一応仮説?というか予想も書いておきました。

いね。 それじや、最後の3番目のタイプ (i)一般形:y=ax'+bx+c(aキ0) についても解説しておこう。2次関数は一般に, この形で表されることが &いので、“一般形” と呼ばれるんだろうね。この一般形で表された2次 らね。 っら, 問数も,標準形:y =a(x-p) +qの形で表すことが出来る。ポイントは ar'+ bx の部分を “平方完成” の形にもち込めばいいんだよ。つまり, いた 2 一般形y=ax'+bx+c (aキ0) 2 b x+ x+c ax°+ bx から, aをくくり出した。 ニ こ! 6? =a{f+ b x+ 2a 6° a 4a? b b 2a 4a a. お 2で割って2乗 2 る 平方完成! b をたした分,引く! a 12a, b x+ 2a b? 4a 2 123 データの分析

二枚目の考え方であっているか、教えていただきたいです。（二次関数の標準形の式の仕組みについて書いたものです。）

一般論として,ある関数y=f(x)をx軸方向に+p, y 軸方向に+ 一見矛盾しているように見えるこの現象は,実は変数を混同させて 9だけ平行移動してできる関数の変数をx', y' とおこう。そして, (i)標準形 (i)基本形 (p, g)だけ 平行移動 y-q=a(x-p)? :y=a(x-p)?+g = alx- 、 平行移動後 元の関す ソ=ax y=ar? y4 =d- る使って で この平行移動のイメージを図4に示しておく。 ン?納得いかないって?「x軸方向に+p, y軸方向+qだけ平行移動させるんだったら, だね。 9 p アー 参考 それで (a) 放物 rの いることから起こったんだよ。 詳しく解説しよう。 一般論として, ある関数y=f(x) をx軸方向に+p, y軸方向に、 ばい (b)y ボク達は,x'とy、の関係式, つまり, y'=(x°の式)の形の関数を 求めたいんだね。ここで, y=f(x)…⑦を, x軸方向に+p, y 方向に+gだけ平行移動した変数が,それぞれx', y'なので, x=x+p y'=y+q この時点では確かに, pとqをそれぞれxとyに足しているね。 でも,ここで, ボク達はx'とy'の関係式を求めたいわけだから, の, O, のから,どうすればいいと思う………? そう,気付いた みたいだね。の, ②を変形して .② となるのはいいね。 x=x-p 1 y=y'-q このとのを⑦に代入すればいいんだね。よって, y'-q= w~ (x-p)[y'=f(x、-p)+q] となって, x' と y' の関係式が導けた! %3 (xの式) が完成! ここで,この変数x', y' の代わりに, として、 u, vとおいても, a, Bとお ダ-タ=パがーp) レ-g=fu-p) となる B-q=ffla-p)となる いても人の勝手でしょう。だからx, yを元のx, yとおいてもいいわけで, コ22