旬 8 数列の極限ン漂化式
ーィくの9くぇとするとき, 次の条件によって定められる数列 {24) がある.
2 EZ
ムーcosうのーーテー (み=1。 2 3 …う
の
1) 一co っr が成り立つことを示せ.
9 9 9
(2 ) 27Xsimっ。Xcos っ Xeos 二Xcos 2ーーxcos
2
が成り立つことを証明せよ.
(3 ) XaXgaX……Xの。 (カー1。 2 3, ……) とおく. 9キ0のとき, Hm
こう
sinの (ヵニ1, 2, 3,
表せ. (新混大
半角の公式を連想する ) 本問は三角関数がらみである. そこで与えられた漂化式を三角|
と剛連させて時めよう。すると。cos ケー ノーSoS2 公式を連相するのは難しくはないメ
解 答
(1) 数学的帰納法で示す、ヵー1 のとき成り立つ.
ァーんで成り立つとすると,
8 な 1
のmn 2(1+み) 呈 (rw cn やす1キcose)=
9 と
くる であるから, cosっar っrm >0 miーcoSっrr をVX* =|タ|に
1 でも成り立つから, 数学的帰納法により証明された-
で(2 )も数学的)
ができる.
2mっarrcos
(2singcoscニ
