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り
改)
余り
x) を
とき
Think
例題 53
割られる式の決定
3 高次方程式 115
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x'+2x+3で割ると x+4余り, x2+2で割ると1余るような多項式
P(x) で,次数が最小のものを求めよ.
考え方 P(x) を4次式 (x+2x+3)(x+2) で割った余り R(x)は3次以下の式である.
解答
P(x) = (x2+2x+3)(x+2) (商)+R(x)
m
+2x+3で割るとx+2x+3で割ると、余りは、
割り切れる.
1次以下の多項式
P(x) をx+2x+3で割った余りと一致する.
P(x) を4次式(x2+2x+3)(x+2)で割ったときの商を
Q(x)余りをR(x) とすると
(x)=(x+2x+3)(x2+2)Q(x)+R(x) ・・・・・・ ①
と表せ,R(x)は3次以下の式である。
また、①において,P(x) をx+2x+3で割ると,
(x+2x+3)(x+2)Q(x)はx+2x+3で割り切れるから,
P(x)をx'+2x+3で割った余りx+4は,
R(x) をx'+2x+3で割った余りと一致する。
つまり、R(x)=(x+2x+3)(ax + b) + x +4 ...... ②
とおける.
同様に,P(x) を x+2で割った余りが-1であるから,
R(x)=(x+2)(cx+d-1 ...... ③とおける.
②③より,
(x2+2x+3)(ax+b)+x+4=(x+2)(cx+d)-1
が成立し, 左辺と右辺をxの降べきの順に整理すると
ax+(2a+b)x2 + (3a +26+1)x +36 +4
=cx'+dx2+2cx+2d-1
これはxの恒等式であるから,
n
a=c, 2a+b= d, 3a+26+1=2c, 36+4=2d-1
これらを a b について解くと, a=1, b=-1
よって,②より
R(x)=(x2+2x+3)(x-1)+x+ 4 = x + x+2x + 1
①より
P(x)=(x2+2x+3)(x+2)Q(x)+x+x+2x + 1
そして,P(x)の次数が最小になるのは Q(x) =0 のとき
である.
Focus
練習
53
****
よって、 求める多項式は,
P(x)=x+x'+2x+1
割る式が4次式なの
で、余りは3次以下
R(x) は3次以下の
式だから 2次式で
割ったときの商は1
次以下の多項式と
なる.
c, dを消去すると、
a +26=-1
4a-b=5
Q(x) =0 のとき,
P(x) は4次以上の
式となる。
多項式 P(x)=A(x)・B(x)+R(x) のとき,P(x) をA(x)で割っ
た余りと,R(x) を A (x)で割った余りは等しい費用
(x-1)2で割ると x +3余り(x+2)2で割ると-8x+12余るような多項式 P(x)
で、次数が最小のものを求めよ.
コン
2
うまくり
