題42 曲線 y=x°+x°+ax と放物線 y==x°-2 は, ともにある点Pを通り
Pにおいて共通の接線をもつ。このとき, 定数aの値と接線の方程式
を求めよ。
2つの曲線 y=f(x), y=g(x) がある点Pにおいて共通の接線をもつとき, Pのx
座標をかとすると
ともにPを通る →f(b)=g(b)
解答f(x)=x°+x°+ax, g(x)=x-2 とすると
バeo f(x)==3x°+2x+a, g'(x)=2x
点Pの×座標をとおく。
2つの曲線はともにPを通るからS(b)=g(b)
すなわち が+かが+ap=Dガー2
また,Pにおける2つの曲線の接線の傾きが一致するから f'(b)=g'(b)
指針
共通の接線をもつ→f(b)=g'(b)
よって が+ap+2=0
の
よって a=-3が
が+(-3が)·カ+2=0
これを2に代入すると a=-3 箇
すなわち
3が+2か+a=2p
2
すなわち が一1=0
これをOに代入すると
かは実数であるから
また,Pの座標は g(1)=-1 より (1, -1)であり, g'(1)=2 であるから
求める接線の方程式は
カ=1
ソー(11)=2(x-1)
すなわち y=2.r-3 答
