例題 91 分数関数のグラフ
次の関数の増減,極値,漸近線を調べて, そのグラフをかけ.
x²
2
****
(1) f(x)=-1
x
(2) f(x)=-1
(3) f(x)=1/21
考え方
まず,定義域を考える. 分数関数の場合, (分母)≠0 に着目する.
次に,軸との共有点,漸近線,増減表などを調べればよいが、その際
(分子の次数) < (分母の次数)になるように式変形する.
m
たとえば,(2)はf(x)=-
x
1
mに着目する
=
1
2
x-1
凸
.3
(3)はf(x)=
x
E
も近線は部分に着目する
x²-1
x+-
=
2
x-1
となる。一
(漸近線は,部分に着目する. 1次以下の多項式の場合, 漸近線を表す.)
解答 (1) x10 つまり xキ±1 より 定義域は xキ±1
であるすべての実数
(分母)0
f(x)=xx
0 = x
x2-1 (x+1)(x-1)
f'(x)=-
=
(x²-1)-x-2x-(x²+1) 0
(x²-1)²
(x-1) 2
0=x5014
050 したがって, f(x)の増減表は,次のようになる。
>
x
-1
1
...
0
f'(x)-
E
f(x)
C+
また,
lim
f(x)
x±∞ x
lim{f(x)-0·x}=0
=0+0
lim
x→∞
よって,
極値なし 0
漸近線 (y軸に平行な
もの)を求めるときに
(分母)=0 となる値を
考える.
limf(x)=∞,
x→1+0
lim_f(x)=∞ より,
1+0
x=±1 は漸近線
x→∞ のとき,
f(x)=0+-
x
≒0
x-1
と考えると,y=0 も
漸近線
漸近線は,直線 x=±1,y=0
