数３積分の面積の問題なんですけど（2）で ∫［−1/2.1/2］−cos xdyと表してから xとyを調整していってはいけないのですか？この問題の解説でいうとxを置いているのですがいつも問題を解く時、何で置けば良いのか判断基準がわからなくなってしまいます。

西線x=g(y)2回 TH 基本例題 240 p.372 基本事項[3] 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 ① yelogx, y=-1, y=2e, y 軸 (2) y=-cosx (0≤x≤π), y=· 1 y=- 2 指針▷ まず,曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) y=elogxをxについて解きで積分するとよい｡ 解答 (1) y=elogx から x=ee -1≦y≦le で常に x>0 よってS=Sirdy [ect] [])=e•e²-e·e-²/² ・・・・・・ x についての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (2) (1) と同じように考えても, 高校数学の範囲ではy=-cosx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 なお,(1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く 方法 でもよい。 2016-0²- (2)y=-cosx から dy=si dy=sinxdx よって S=1 いくにしてい 187 -St =1-x (そしくはしてる はん xsinxdx® ・π・ π --*cos.x]+*coxx COS X 1 1 22 YA cos xdx 2 YA πC 2e 2、 1 2 ,y軸 0 S '1 2 -ez. 2e+1 SO 3 y=-cost T 2 !e² +601 x=e π π =-g.(-2)+5}+\sinx -5 ++0-2 3 3 π 練習 240 (1) x=y2-2y-3, y=-x-1 (2) y= =1/1/14.y=1. y=1/1/ym (3) y=tanx (0≤x<7), y=√3, y=1, y del 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 重要 246 ****** π x =2e³+e² YA x=g(y) d (1) の 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) =e³-e¹-² C -Se(elogx+1)dx -[e(xlogx-x)+x] 11 (②2)の S = ²/3 + - (1/2 + 1/ ) 11 S= π. s=Sg(y)dy π 常に g(y)≥0 12 (2) の 別解 (上と同じ方法 ) - cos x+ +)dx -²x+[sinx-x Op.387 EX213 8章 38 面積

赤い丸で囲んであるところが全くわからないです…💦

重要 例題 232 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 媒介変数tによって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 PALER CH CHART 解答 図から, 0≦t≦↑ では常に y≥0. また OLUTION 基本例題228 では,t の変化に伴ってxは常に増加 したが, この問題ではxの変化が単調でないとこ ろがある。 右の図のように、 t=0 のときの点をA, x座標が 最大となる点をB (t=to でx座標が最大になると する), t=π のときの点をCとする。 この問題では点Bを境目としてxが増加から減少 に変わり, x軸方向について見たときに曲線が往 復する区間がある｡ したがって, 曲線 AB をy, 曲線 BC を とすると, 求める面積Sは CONTO S=Synx Synx と表される。・・･・・ 2008 y=2sint-sin2t=2sint-2sintcostanial =2sint(1-cost) よって, y=0 とすると 0≦t≦x から t=0, π 次に, x = 2cost-cos 2t から dx dt -=-2sint+2sin 2t =-2sint+2(2sintcost) =2sint(2cost-1) 0 <t<π において 1 FAVO dx - = 0 とすると, sint> 0 から dt 「 cost=- ゆえに π t=₁ よって、xの値の増減は右の表のようになる。 sint = 0 または cost=1+sajest 15 0<a Fachs C In t dx dt x よって,xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式 を立てる。また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からの積分に直 して計算するとよい｡ -3 t= を求めている。 y2 0 0 1 0000 y₁ 13 S 曲線が往復 している区間 (小 ... yA + 0 Hinf. 0≦t≦π のとき sint≧0,cost≦1 から y=2sint(1-cost) 20 としても,y≧0 がわかる。 0 A 1 t=0+ π 3 0 3 2 基本 228 *** •B TI [] t=to π 0 -3 ゆえに, osts におけるy をyi, sts におけるyを X=- 20030-caso =2-1 [ ] とすると, 求める面積Sは s=S²¸y=dx−Svidx ここで、0≦ osts において、 x=1のとき t=0, であるから また、において x=2のとき 一 であるから よって 3 x= のとき S² vidx=Sy dx ここで dt dt x=3のときt=" S²¸yzdx=Syddt t=7 s-Syndx-S² vndx-Syddi - Sydd dt dx -Sidedt + Sy dr dt-Sydx dt =S(2sint-sin2t)(−2sint+2sin2t)dt = S-2s -2sin22t+6sin2tsint-4sin't)dt =2f (sin2t-3sin2tsint+2sint)dt 4t sin 2t dt-S¹-cost dt-t-sin 4- ・dt=- 2 (3sin2tsintdt-3" 2 sint cost-sintdt EES S2 sintdt=2^1-69824dt=[1-1/2 sin24] 月 sin'tdt=2f"1-cos2tat=| =1 S= = -65 sint cost dt = 65" sinºt(sint)dt = 6-sin't] =0 =6 Y -3 注意 と は,xの式と しては異なるから |Sydx-vidx=S_¸ydx としてはいけない。 一方の式としては同じ y=2sint-sin2t) で表さ れる。 355 Sf(x) dx = -f(x) dx Sf(x) dx + f(x) dx -Sof(x)dx ← S₁ƒ (x) dx = -S₁ƒ (x) dx 1-cos 20 2 inf. 積和の公式から 3sin2tsintdt sin'0= ---√ (cos (cos 3t-cost)dt -sin 3t- =0 したがってS203 としてもよい。 [inf. この例題の曲線は, カージオイドの一部分である(p.103 補足参照)。 Tri y PRACTICE・・・･ 232 ④ 媒介変数tによって, x=2t+t, y=t+212 (-2≦t≦0) と表される曲線と, y軸で 囲まれた図形の面積Sを求めよ。 ds de 8章 25 20

この2つの置換積分法の違いがよく分からないです💦 これは置換積分法を使う問題だと見分ける方法と、何をtやuで置いたらいいのかを見極める方法を教えて欲しいです！

置換積分法 I 1 Sf(x) dx=ff(g(t)) g'(t) dt ただし, x=g(t)

この問題の何を置換するのか、またそこからの解答プロセスを教えてください。

1 1 L 0 X 1-x -d.x

数3積分について、分数の積分は合成関数のような扱いでlogにできるのはax＋bのような一次式だけでそれで分子が1のときはtanθによる置換ですよね？1枚目のように二次式なのにlogにできるのは分子が2Xの時だけの特例ということでしょうか？分子が3Xなどの場合はどうすればいい... 続きを読む

2x x² +1 dx F|C =(nie-8)x =10g(x2+1) から dy= の対応は右のようになる。 log2 2x V=nS10²² x ² dy=nS₁x². dx=nS²(2x- 0 x²+1 =x²-log(x²+1)] =(1-log2) > 2x -)dx x² +1) a (

⑴で、どうして dy=1/e e y/e dyとならないのですか？

形の面積 65-267, を果たす。 --g(x)}dx -in 2x x 2π I は, x)の符号 よい。 曲線x=g(y) とy軸の間の面積 基本例題 257 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 yelogx, y=-1, y=2e,y軸 y=-cosx (0≤x≤n), y=-1/2, y=-1₁ でもよい。 解答 (1) y=elogx から -1≤y≤2e CHIC XU •2e 2e kot S=S² e dy=[e-e = 1² ₁ まず、曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) yelogxをxについて解き,yで積分するとよい。 ･･･xについての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (2)(1) と同じように考えても,高校数学の範囲では y=-cosx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 (1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く方法 =e.e² - e•e== 3=e³-e¹-1/ (2) y=-cosx75 よっ x=ee π y dy=sinxdx xsinxdx -|-xcosx}"+f" cosxdx COS X π - - - - - - (-1/2) + 5 - 12/12 3 +0= + TC 2 sinx yA 2e e S 練習 ③257 (1) x=y2-2y-3, y=-x-1 (2)y= 1 √x y=1, y= -1 y軸 2' 2 8. ya 1 1 2. O 17 y軸 y 2 2 113 π e² 1 2 2e+1 Y+WA S p.424 基本事項 ③ 3 x=ee 102 ↑ SEX 00000 2 T2 y=–cost π 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 4703 π y x d =2e3+e² || 重要 263 x=g(y) (1) の 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) TC 2 常に g(y)≥0 s=g(y)dy -S4(elog.x+1)dx -[e(xlogx-x)+x] + =e³-e¹-² (2) の 別解 (上と同じ方法) S = ²/3 x ² ( 7²2 +²2²) S= 427 T cosx+ 1/1/2)dx Hot CO 8章 38 面積 38 Op.440 EX213

黄色蛍光の部分が分かりません。どういう意味ですか？

重要 例題 232 置換積分法を利用 f(x) は連続な関数, α は正の定数とする。 (1) 等式Sof(x)dx=Sof(a-x)dx を証明せよ。 (2)(1) の等式を利用して、定積分 Sox fea-xdx を求めよ。 (2) f(x) = - ex とすると, f(a-x)=caxtex ex tea-x このことと (1) の等式を利用して方程式を作る。 解答 (1) a-x=t とおくと x=a-t ゆえに dx=-dt xtの対応は右のようになる。 よって (右辺)=Sof(a-x)dx=Sof(t) (dt) Sof(t)dt 指針 (1) α-x=t とおくと, 置換積分法により証明できる。 なお,定積分の値は積分変数の 文字に無関係である。すなわち Sof(x)dx = Sof(t)dt に注意。 ea-x であり So f(x)dx=(左辺) Y x 0 →a a → 0 fet (1) 7 00000 基本228 重要 233. ******.. f(x)+f(a-x)=1 - f(x) dx =Sof(x)dx 定積分の使 重要 (1) 連絡 (2) (1) 指針 (1 解答 (1) x= xと 証明

媒介変数表示の曲線の場合に、写真2枚目のθ＝0など、 f'(x)=0でないところで値がどうなるかを考えるのはなぜなのでしょうか。また、その値はどのように決めるのでしょうか。 一枚目などの問題では、そのような条件が増減表に示されてないため、考えるときとそうでないときの違いも教... 続きを読む

00000 基本例題 241 定積分で表された関数の最大・最小(1) ~2x≦2のとき、関数f(x)=f'(r)e" dt の最大値・最小値と、そのときの 基本 239,240 の値を求めよ。 指針 dxf.g(t)dt=g(x) を利用すると,導関数f(x) はすぐに求められる。 よって、f(x) の符号を調べ、増減表をかいて最大値・最小値を求める。 なお、極値や定義域の端でのf(x)の値を求めるには、部分積分法により定積分 (1-t)e' dt を計算して, f(x) を積分記号を含まない式に直したものを利用するとよい。 解答 f'(x)=0 とすると x=±1 よって, f(x) の増減表は次のようになる。 -2 -1 1 0 0 極小極大ゝ また S'(x)=&S(1-t)dt=(1-x*)ex 241 x f'(x) ゆえに したがって - f(x)=S+(1-t) (e^*)'dt =[(1-1"erl +2f, te'dt =(1-x*e* 1+2([terl-Serat) f(2)=1-e² ここで, f(-2)<f(1) であり, f(-1) f(2) の値を比較すると =(1-x2)ex-1+2xex-2(ex-1) =(-x²+2x-1)ex+1 =1-(x-1)'ex よってf(-2)=1-123, f(-1)=1-4, f(1)=1, 9 f(-1)-f(2)= e-4>0 e + f(-1)>f(2) x=1で最大値1, x=2で最小値1-² 2 1 から、f(x)の特号 符号と一致する。 部分積分法 (1回目)。 部分積分法(2回目)。 <S²4-[~ I =8²-1 最大・最小 との値をチェック 増減表から、最大値の候補 は (-2), f(1) 最小値の候補はパール から) ∫(x)=e'costdt (OMx2x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。 Ian Ca

区間の設定がわからかいのでなんで、-2/π＜θ＜2/πになるのかを教えてほしいです

3 定積分 区間 S₁ x = tan0 とおくと π 1-4 << 2 dx 1+x² ゆえに S を求めよ。 <0において,x と の対応は右の表のようになる。 1 1+x² = 1+tan²0 = cos² dx do dx cos²0 1 cos²0. L.-L'ad - [² do = [01² - 4 [0]* 1+x² cos² do TT 2 定積分の置換積分法 [2] Xx=tand 1 0 0 I 4 2 TO 4

この⑴ってlogの中身のx^2を微分してかけなくていいんですか？

10 例題 4 次の不定積分を求めよ。 2x (1) 2²2 45 dx ſ +5 2x S (1) √ √ ² + 5 dx = f (x²+5) -dx x² +5 = log| x² +5+C = log(x²+5) + C 解 (2) Star tan x dx 置換積分法 [3]|