数学
高校生

媒介変数表示の曲線の場合に、写真2枚目のθ=0など、
f'(x)=0でないところで値がどうなるかを考えるのはなぜなのでしょうか。また、その値はどのように決めるのでしょうか。
一枚目などの問題では、そのような条件が増減表に示されてないため、考えるときとそうでないときの違いも教えていただきたいです。🙇

00000 基本例題 241 定積分で表された関数の最大・最小(1) ~2x≦2のとき、関数f(x)=f'(r)e" dt の最大値・最小値と、そのときの 基本 239,240 の値を求めよ。 指針 dxf.g(t)dt=g(x) を利用すると,導関数f(x) はすぐに求められる。 よって、f(x) の符号を調べ、増減表をかいて最大値・最小値を求める。 なお、極値や定義域の端でのf(x)の値を求めるには、部分積分法により定積分 (1-t)e' dt を計算して, f(x) を積分記号を含まない式に直したものを利用するとよい。 解答 f'(x)=0 とすると x=±1 よって, f(x) の増減表は次のようになる。 -2 -1 1 0 0 極小極大ゝ また S'(x)=&S(1-t)dt=(1-x*)ex 241 x f'(x) ゆえに したがって - f(x)=S+(1-t) (e^*)'dt =[(1-1"erl +2f, te'dt =(1-x*e* 1+2([terl-Serat) f(2)=1-e² ここで, f(-2)<f(1) であり, f(-1) f(2) の値を比較すると =(1-x2)ex-1+2xex-2(ex-1) =(-x²+2x-1)ex+1 =1-(x-1)'ex よってf(-2)=1-123, f(-1)=1-4, f(1)=1, 9 f(-1)-f(2)= e-4>0 e + f(-1)>f(2) x=1で最大値1, x=2で最小値1-² 2 1 から、f(x)の特号 符号と一致する。 部分積分法 (1回目)。 部分積分法(2回目)。 <S²4-[~ I =8²-1 最大・最小 との値をチェック 増減表から、最大値の候補 は (-2), f(1) 最小値の候補はパール から) ∫(x)=e'costdt (OMx2x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。 Ian Ca
基本例題279 媒介変数表示の曲線と回転体の体積 00000 高崎線x=tand, y=cos 20 (-1 <<号)とx軸で囲まれた部分をx軸の周り に1回転させてできる回転体の体積を求めよ。 y = 0 とすると cos 20=0 20πであるから 2017 すなわち x=±1 (複号同順) このとき の値に対応した xyの値の変化 は表のようになり 曲線とx軸で囲 まれるのは一人のときである。 x=tan 0 から ① 曲線とx軸の交点の座標 (y=0 となる9の値) を求める。 ②2 8の値の変化に伴う,x,yの値の変化を調べる。 体積を定積分で表して計算する。 yをxの式で表してもよいが、置換積分法を利用す ると、媒介変数0のままで計算できる。 v=aSy²dx=nS"{g(0)}ƒ'(0)d0_a=f(a), b=f(3) 0 1 cos2日 よって 求める体積は 1 v=zS²_₁²³dx=xS² dx= XC y 279 de -50 =2π(2 cos²0-1)². 20 K2 cos² 20. = 2πS* (4 cos³0-4+ π > -2x (2 cos 20-2+ =2 So − 2x(1−——+1)=x(4-x) cos 1 COS20 1 cos'oldo -do π 4 -1 0 cos2 f 18 -do 0 XC -1 → 1 0-4-4 0 7 1 (類 東京都立大) I 4 1 0 i 2 曲線: xcost, y=2sin't (osts/con)がある。 261,972 加する。 cos2 で増加し 自分な量で減少する。 1+cos 6)d0-2x[sin 20-20+tane] ²1+ 20 で囲まれる図形の面積を求めよ。 はy軸に関して 455 40 O
数3 積分 媒介変数表示
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