Question

、

媒介変数表示の曲線の場合に、写真2枚目のθ＝0など、
f'(x)=0でないところで値がどうなるかを考えるのはなぜなのでしょうか。また、その値はどのように決めるのでしょうか。
一枚目などの問題では、そのような条件が増減表に示されてないため、考えるときとそうでないときの違いも教えていただきたいです。🙇

00000
基本例題 241 定積分で表された関数の最大・最小(1)
~2x≦2のとき、関数f(x)=f'(r)e" dt の最大値・最小値と、そのときの
基本 239,240
の値を求めよ。
指針 dxf.g(t)dt=g(x) を利用すると,導関数f(x) はすぐに求められる。
よって、f(x) の符号を調べ、増減表をかいて最大値・最小値を求める。
なお、極値や定義域の端でのf(x)の値を求めるには、部分積分法により定積分
(1-t)e' dt を計算して, f(x) を積分記号を含まない式に直したものを利用するとよい。
解答
f'(x)=0 とすると
x=±1
よって, f(x) の増減表は次のようになる。
-2
-1
1
0
0
極小極大ゝ
また
S'(x)=&S(1-t)dt=(1-x*)ex
241
x
f'(x)
ゆえに
したがって
-
f(x)=S+(1-t) (e^*)'dt
=[(1-1"erl +2f, te'dt
=(1-x*e* 1+2([terl-Serat)
f(2)=1-e²
ここで, f(-2)<f(1) であり,
f(-1) f(2) の値を比較すると
=(1-x2)ex-1+2xex-2(ex-1)
=(-x²+2x-1)ex+1
=1-(x-1)'ex
よってf(-2)=1-123, f(-1)=1-4, f(1)=1,
9
f(-1)-f(2)= e-4>0
e
+
f(-1)>f(2)
x=1で最大値1,
x=2で最小値1-²
2
1
から、f(x)の特号
符号と一致する。
部分積分法 (1回目)。
部分積分法(2回目)。
<S²4-[~ I
=8²-1
最大・最小
との値をチェック
増減表から、最大値の候補
は (-2), f(1)
最小値の候補はパール
から)
∫(x)=e'costdt (OMx2x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。
Ian Ca

基本例題279 媒介変数表示の曲線と回転体の体積
00000
高崎線x=tand, y=cos 20 (-1 <<号)とx軸で囲まれた部分をx軸の周り
に1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
y = 0 とすると
cos 20=0
20πであるから 2017 すなわち
x=±1 (複号同順)
このとき
の値に対応した
xyの値の変化
は表のようになり
曲線とx軸で囲
まれるのは一人のときである。
x=tan 0 から
① 曲線とx軸の交点の座標 (y=0 となる9の値) を求める。
②2 8の値の変化に伴う,x,yの値の変化を調べる。
体積を定積分で表して計算する。 yをxの式で表してもよいが、置換積分法を利用す
ると、媒介変数0のままで計算できる。
v=aSy²dx=nS"{g(0)}ƒ'(0)d0_a=f(a), b=f(3)
0
1
cos2日
よって 求める体積は
1 v=zS²_₁²³dx=xS²
dx=
XC
y
279
de
-50
=2π(2 cos²0-1)².
20
K2
cos² 20.
= 2πS* (4 cos³0-4+
π
>
-2x (2 cos 20-2+
=2
So
− 2x(1−——+1)=x(4-x)
cos
1
COS20
1
cos'oldo
-do
π
4
-1
0
cos2 f
18
-do
0
XC -1 → 1
0-4-4
0 7
1
(類 東京都立大)
I
4
1
0
i
2
曲線: xcost, y=2sin't (osts/con)がある。
261,972
加する。 cos2
で増加し
自分な量で減少する。
1+cos
6)d0-2x[sin 20-20+tane] ²1+ 20
で囲まれる図形の面積を求めよ。
はy軸に関して
455
40
O

数3 積分 媒介変数表示