基本例題167 共通接線 (2) ･･･ 2 曲線が接する
0<x<πのとき, 曲線 C1:y=2sinx と曲線 C2:y=k-cos2x が共有点P で共
通の接線をもつ。 定数kの値と点Pの座標を求めよ。
で
指針 2 曲線 y=f(x) と y=g(x) が共有点で共通の接線をもつ (2曲線
その共有点で接するともいう) ための条件は、共有点のx座標
を t とすると,次の [1],[2] を満たすことである。
[1] f(t)=g(t)
座標が一致する
[2] f'(t)=g'(t) ·
微分係数が一致する
解答
y=2sinx から
y=k-cos 2x から
共有点Pのx座標をt (0<t<²) とすると,点P で共通の接線
をもつための条件は
2sint=k-cos2t
かつ 2cost=2sin2t
② から cost=2sintcost
よって
0 <t<πであるから
Islote
Cost = 0 より
t=₁
t=22₁
t=7のとき, ① から
cost=0, sint=
のとき、①から
t=cのとき、①から
ゆえに、点Pの座標は
k=1 (t=1のとき
......
P
y'=2cosx
y'=2sin2x
TC
①
(2)
ゆえに cost (2sint-1)=0
11/12より11/01/10/0
t=
-π
6
k=1
sint=
P(2, 2)
π
5
k=2012 (17/01/2)のとき
t=
6
2=k+1
1=k-
1=k-
1
2
1
2
よって
よって
よって
C2
k=
2
k=
3|23|2
3
kの値を求める。
y522
y=f(x)
共通接線
まず, 導関数を求める。
y=-(-sin2x) ･2
ya
y座標が一致。
22
微分係数が一致。
2倍角の公式を利用。
基本166
1120
3
左下は k=1, 右下はk=
のときのグラフ。
ha
Ci
C1
!
π
x
46
y=g(x)
接する
56
π x
x
