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20 不等式x+y。S1を満たす x, yに対して, x+y の最大値および最小
値と,そのときの x, yの値を求めよ。
「指針]領域と最大·最小 x+=k とおくと, これは傾きが -1, y切片
ぶをの直線を表す。 この直線が不等式パ+y°<1の表す領域と共有点
をもつときのkの値の範囲を調べる。
不等式x+y'<1の表す領域をAと
すると,Aは円x+y°=1の周および
内部である。
x+y=k ………①
とおくと,これは傾きが-1, y切片
がんである直線を表す。 この直線①が
領域Aと共有点をもつときのんの最
大値,最小値を求めればよい。
この直線①が領域Aの円と接するとき, 図のように接点をP, Q
とすると, OP=0Q=1 で, 直角二等辺三角形の辺の比が1:1:/2
であることより,
k
直線のが点Pで円と接するとき k=、2) (
V2
このとき x=y=-2
V2
直線Dが点Qで円と接するとき (k=-2) (このときx=y=-")
2
それぞれのときに, kは最大, 最小になる。
したがって, x+yは
V2
のとき最大値2 をとり,
2
x=y=
V2
x=y=
のとき最小値 (2 をとる。圏
2
