⑶の問題で、解答の黒線の部分なんですけど、三分のニをニ乗していくと小さくなると思うんですけど、なぜ小なりイコールなんですか？？

例題 17 漸化式と極限 (3) a=1, an+1=√2+3 (n=1,2,3, ......) で定義される数列{am} について,次の問いに答えよ. (1)数列{an} が極限値αをもつとき,α の値を求めよ. (2)(1) αについて, anti-alla-al を示せ. (3) lima=α であることを示せ **** 「考え方」 (1) lima=α のとき, liman+1=αであるから, →:00 YA y=x これを与えられた漸化式に代入して考える。 y=√2x+3 求めたαが条件に合うか確認が必要.. (2)(1) で求めた α を代入し, 漸化式を用いて不等式の 左辺を変形する. a2a3 (3) 実際に lima を求める. はさみうちの原理を利用する. a=1 00+11 解答 (1) lima=α とすると, liman=liman+1=α なので, 無理方程式 8118 漸化式 an+1=√2+3 より α=√2α+3 ... ① 両辺を2乗して, α = 2a +3 より, α=-1 は ①を満たさないから. a=3 (2)|a,+1-3|=|√2a,+3-3|=| 2a,+3)-9 α=-1,3 √2an+3 +3 1 == -|2a-6| √2an+3+3 √2an+3+3 よって, a,+1-3|22|47-31は成り立つ。 == la-3≤an-3 (3)(2)より14,-31010,13| 2\n-1 2\2 n-2 3 ここで,4=1より、0a,-3=2....... \n-1 2\n-1 (p.98 参照) a²-2a-3=0 (a+1) (α-3)=0 α=-1, 3 が①を満 たすか確認する. 分子の有理化 √2+3≧0 より √2a+3+3≥3 √2a, +3+3 3 (2)をくり返し用いる. |-3|=|1-3| |=|-2|=2 Focus ② lim2(12/3) 0 とはさみうちの原理より、 →∞ lim|a-3|=0 11-0 よって, lima=3 となり、題意は成り立つ. liman=a= liman+= a 8-8

1枚目の「ルートの中身は0以上」という話と 2枚目の文字式の根号を外すときは絶対値をつけるっていう話 なんで根号の扱い方が違うんですか？

3 ルートがらみの方程式・不等式を解く (ア) √2-x2=1-2x を満たす実数xの値は (イ) 5-xx +1 を解け. 不等式√3-2 ≧2x-1 を解け. である. (京都産大・理系) (龍谷大・理系(推薦)) ( 東京都市大) 図形問題を解くときにも現れる ルートがらみの方程式・不等式のことを, 無理方程式・無理不等 式と言う. 教科書的には数Ⅲの内容だが,図形問題を解くときにも (解法によっては) 現れることがあ るので,ここで練習しておくことにしよう。 解くときの注意点 2乗してルートを解消するが, その際に注意が必要である. 2乗すると同値性がくずれる.例えば, A=B ⇒ A2=B2 であるが, A2=B2 A = Bである (例えば, A=-2, B=2のとき, A'=B2 だが, A=Bではない). また, A≧B A2≧B2 であ る(例えば,A=1, B=-2 のときを考えよ). 「A≧BA'≧B2」という同値変形ができるの は,A≧0 かつ B≧0のときである. 両辺が0以上なら, 2乗しても同値である. y=x · ルートの中は0以上であり、 実際にどのようにするかは,以下の解答で. の値は0以上である(ア) (27=1-27 and 22-20~ ? and 1-2x20 解答量 0

【√を含んだ方程式、不等式】に関する質問です。 問題の最初では前提として√の中が0以上であると書かれています。 そして(ア)の解説では【2x−x^2が0以上である】から【√の中が0以上である】ことが保証されると書いてあります。 2x−x^2は上に凸のグラフです。明らかに0... 続きを読む

(ア)√2x-x=1-2x を満たす実数xの値は [ (イ) √5-x<x+1を解け. (ウ) 不等式√x+1≧2x-1 を満たす』の範囲は 03 ルートがらみの方程式・不等式を解く一 .. ]である. ルートがらみの方程式・不等式のことを, 無理方程式 無理不等 図形問題を解くときにも現れる 式と言う。 教科書的には数Ⅲの内容だが, 図形問題を解くときにも (解法によっては) 現れることがあ るので,ここで練習しておくことにしよう. 解くときの注意点 2乗してルートを解消するが,その際に注意が必要である. である. ・2乗すると同値性がくずれる. 例えば, A=B⇒A'=B' であるが, A'=B' # A=Bである A'ZBであ A2≧B」という同値変形ができるの 解答量 (7) √2x-r² =1-2x ⇒1-2x²0 ƒ› 2x−x²=(1−2x)² ①を整理すると, 5x²-6x+1=0 :: (r−1)(5r-1)=0 -1<x≦5 かつ (x+4) (x-1) > 0 (ウ) √x+1≧2x-1 ① のとき, x+1≧0 1°②かつ 2ェー1<0, つまり -1≦x<1/12 のとき (例えば,A=-2,B=2のとき, A2=B2 だが,A = B ではない).また, A≧B る(例えば,A=1, B=-2のときを考えよ)『A≧B は,A≧0かつ B≧0のときである. 両辺が0以上なら, 2乗しても同値である. ・ルートの中は0以上であり, の値は0以上である。 実際にどのようにするかは,以下の解答で. 1-2≧0 を満たすxを求めて, x=- (1) √5-x<x+1 ⇒ 5¬x≥0h»x+1>0 A»5−x<(x+1)² ... -1<x≦5 かつ x2+3x-4>0 (京都産大・理系) (龍谷大・理系(推薦)) (東洋大) ∴.1<x≦5 x≧-1 は成り立つ。 5 よってStea であり.xml/1/2とから、1/12ss20 5 4 1°,2°により, 答えは、-1≦xs 20 5 2°②かつ2x-1≧0, つまりx≧ x≧1/2のとき,① の両辺を2乗しても同値で, x+1≧(2x-1)2 .. 4x²-5x≤0 : x(4x-5) ≤0 ← ① のとき,右辺≧0 により 2x-2≧0であるから, ルートの 中は0以上であることが保証さ れる. x+1>√5-x≧0 により, x+1>0. ←-1<x≦5のとき,x+4>0 ← ①の右辺の符号で場合分け. ② のとき, ①の右辺 < 0 なら ① は成 立。

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

数3 無理関数のグラフを描いて、共有点の座標の個数から実数解の個数を出したいのですが、グラフの描き方が分かりません。 微分して求めようとしても上手く解けませんでした、 どなたかお願いします。 (この方法以外の解法では解けました)

無理方程式Vx-2 =a(x-1) の実数解の個数を定数 a の値によって分類して答えよ。 mil このことかし JR の (スチ1)のグラフの共有点の個数 mit 1<rsである。 x-1 般項が mm られる グラッ? mit= 2Y

このような解き方をしたんですけど、どこが間違っていますか？ 答えは-3≦x<1でした

62 次の方程式, 不等式を解け。 (1) 交十3ニァ+1 絞)/ァ十放ィ十1 ポイント@ 無理方程式の解 両辺を2乗して得られる方程:

数学の黄チャートです （2）の最後のところで、 -6の方に等号が付いているのはなんでですか？ 教えてください🙇‍♀️

|多馬 () 無理方程式・不等式 ( @@の②@ () 関数 マニツェ6 のグラフと直線 ッニェ の共有点の座標を求めよ。 (2 不等式 yx+6>x を解け。 仙Ase 男ororros グラフ利用の無理方程式・不等式の解法 共有点 でつ> 実数解 上下関係 > 不震式 (!) 無理方程式 /x+6ニェ の実数解が共有点の座標である。/ をなくすた めに両辺を 2 乗する。このとき、 4ニニ と 4*=* は同値ではない ことに注 意。 (2) () のグラフの上下関係に着目して求める。 ……ロ| をカ し arT6 …①. でッー/5H のクラフは| の = のグラフを=夫 方に 6だけ平行動 したもの。 [本旨式を6方和 式・不等式をそれぞれ 無理 無理式 といい。 その解を求めることを解く という> のグラフは。 有図の実線部分の ようになる。 (り ⑪, @から な6ニャ・ 両辺を 2 乗すると のグラフより上側に 129

(2),(3)の解き方はなぜ違うんですか？ (2)では2通りで考えなくていい理由を教えて下さい。

人Maasr@罰ororron グラフを用いない舞理方程式・不等式の解法 ら乗して をはずす "4と=0, 4=0 に注誠に 方程式の場合 (]) 4ニ= =っ 4ニー" は成り立つが, 導 をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認 2 不等式の場合 (2 (3) 。 7I(1) 方程式の両辺を 2 乗して 、10-=(x+2) 整理すると 2テー3=0 ゆえに.(ヶ-1)(ヶ+9三0 よって の テーー3 は与えられた方程式を満たさないから ==1 (⑦ ェ+2=0 であるから =2 ……:⑪ e また, =yz二2=0 から xsg0 2 径して 。』ァ2 よって xミー1。2<ァ 求める解は,①, ②③の: こと2二 (3) 2x二60 であるから| 回 すなわち