答えが違う理由を教えて下さい。

426 基 本 例題 122 1次不定方程式の整数解 (2) 次の方程式の整数解をすべて求めよ｡ (1) 3x-7y=1 CHARTO SOLUTION 1次不定方程式 ax+by=c の整数解 1組の解 (p, g) を見つけて a(x-p)+b(y-g)=0...... (1) 係数が小さいから, 1組の解が見つけやすい。 (2) 係数が大きいから, 1組の解が見つけにくい。 そこで,基本例題121 のように 3x-7y=1 x=5, y=2 は, ① の整数解の1つである。 よって 3-5-7-2=1 ① ①② から 3(x-5)-7(y-2)=0 すなわち 3(x-5)=7(y-2) 3と7は互いに素であるから ③ より (2) 22x+37y=2 ① ax+by=1 の整数解 x=p, y = g を互除法を用いて求める。 a(cp)+b(cq)=c ② ap+bg=1 から, 両辺にcを掛けて の手順で進める。最後の式とax+by=c から a(x-cp)+b(y-cg) = 0 したがって, ① のすべての整数解は x-5=7k, y-23k (kは整数) 3 x=7k+5,y=3k+2 (kは整数) 22x+37y=2 p.423 基本事項 基本 21 (2) x= -5, y=3 は, 22x+37y=1の整数解の1つである。 よって 22・(-5)+37・3=1 したがって, ① のすべての整数解は 両辺に2を掛けると 22・(-10)+37・6=2 ...... (2) M ①-② から 22(x+10)+37(y-6)=0 すなわち 22(x+10)=-37(y-6) 22 37 は互いに素であるから, ③ より x+10=37k, y-6-22k (kは整数) よって (3) x=37k-10,y=-22k+6 (kは整数) 10000 Int. 22と37 に互除法を用いると 22=15・1+7→722-15・1,157・2+11=15-7･2 の断りは重要。 x-5が7の倍数となる から x-5=7k ③に代入すると 3.7k=7(y-2) 1-15-7-2-15-(22-15-1)-2-22-(-2)+15.3 -22-(-2)+(37-22-1)-3-22-(-5)+37-3 PRACTICE･･･ 122 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (2) (1) 5x+7y=1 (2) 35x-29y=3 x=-5, y=3 の求め方 は、下のinf を参照 37=22・1+15→15=37-22・1, の断りは重要。 ズーム UP 基本例題 122- 現方法や, 1 1組の 基本例題 y=2を 例えば, 様に解く 例題の y=3(k x=7k と同 「基本例 そのた に方程 37= 22 m ●例な法整

14と9は互いに素数であるから〜 からの説明がわかりません。 分かる方教えていただきたいです。

104 DE PARK で割ると5余り, 9で割ると7余る自然数nのうち、3桁で最大のものを 求めよ。 103000 CHART GUIDE) 沸騰出! よって すなわち 解答 は整数x,yを用いて1 1次不定方程式の整数解の利用 ①条件から x,yを整数として、 は 14x+5, 9y+7 と2通りに表され、 14x+5=9y+7 から 14x-9y=2 ② 149 は互いに素であるから、 14x-9y=2 の整数解が求められる。 「解は整数を用いて表される。 ...... ③ 解が求められたら、不等式 < 1000 を満たす最大の整数の値を調べ る。...... YAN n=14x+5,n=9y+7 この両辺を2倍して と表される。 って ...... ① 107 47126 y=2, p=3 は 14x-9y=1 の整数解の1つであるから 14x+5=9y+7. 14x-9y=2 (A) 14・2-9・3=1 14.4-9.6=2 と表される。 -0=(x + √5 + (0- ①-②から 14(x-4)-9(y-6)=0 とは互いに素であるから、③を満たす整数xは (01-SS--(0 ***... <1000 とすると 126k+61 <1000 ④ を満たす最大の整数kはk=7 ゆえに､求めるnは x4=9k すなわち x=9k+4 (kは整数 BOCKICTO WIJ JUF 16100 n=14x+5=14(9k+4)+5=126k+61 S=21+11+5-9 よってんく 3 n=126・7+61=943 313 42 *** αを6で割った商を 余りをすると a=bq+r ←解がすぐに求められなけ れば互除法を利用する。 14-9-1+5, 9-5-1+4, 54•1+1 から 1-5-4-1 A-ACI (AS-S)S−4=15—1= 45 4-126k 9397 -5-(9-5-1)-1 52+(-1) (14-9-1)-2+9-(-1 =14-2-9-3 313 42

数A 青チャート127の一次不定方程式の問題です マーカー部分の式の意味が分かりません教えてください🙇🏻‍♀️どうやったらこの式になるんですか？

506 基本例題 127 1次不定方程式の整数解 (1) 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 9x+5y=1 指針 1次不定方程式の整数解を求める基本 p.505 基本事項 [2] まず、1組の解を見つける 例えば (1) x, yに適当な値を代入して1組の解を見つける。 方法は何でもよいが、 この右辺が5の倍数となるようなこの値を [1] 係数が大きいxに1, -1 などを代入して, yが整数となるようなものを調べる [2] 9x を移項して 5y=1-9x ①まず1組 (2) 係数が大きいから, 1組の解が簡単に見つかりそうにない。 このようなときは、 不定方程式の 整数解 ② 解答 を (p.71 みつけ法を利用して見つけるとよい。解答下の注意を参照。 みつせ (1)9x+5y=1 ax+by=1 (2) 19x-24y=1 x=-1, y=2 は ① の整数解の1つである。 よって (2) 9・(-1)+5・2=1 ① ② から 9(x+1)+5(y-2)=0 すなわち 9(x+1)=-5(y-2) (3) 9と5は互いに素であるから, x+1は5の倍数である。 ゆえに,を整数として, x+1=5kと表される。 ③に代入して 9.5k=-5(y-2) すなわち y-2=-9k よって、 解は x=5k-1,y=-9k+2 (kは整数) (2) x=-5, y=-4は方程式の整数解の1つである。 よって 19(x+5)-24(y+4)= 0 すなわち 19(x+5)=24(y+4 ) 19 24 は互いに素であるから, x+5は24の倍数である。 ゆえに, kを整数として, x+5=24k と表される。 ④ に代入して 19･24k=24(y+4) すなわち y+4=19k よって, 解は x=24k-5, y=19k-4 (kは整数) よって 練習 次の方程式の整数解をすべて求め ...... L③から L4 に ② を代入整理 19・(-1)+(24-19･1)･4を整理して 1=19.(-5)-24 (-4) <1 1組の解はどのようにと ってもよい。例えば、 x=4, y=-7でもよい 1次不定方 で, 解が1 解の見つに 注意 19 24 で互除法を用いて, 1組の解x=-5, y = -4 を見つける方法 24=19・1+5 24-19・1=5 移項して 移項して 19=53+4 19-5.3=4 5=4･1+1 移項して 5-4.1=1 1=5-4・1=5-(19−5・3)・1=19・(-1)+5・4=19(-1)+(24-19・1)・4…. (*) 5① を代入 a,bが互いに素で, an が3の倍数ならば、nは 6の倍数である。 (a,b, nは整数) ズーム UP 下の注意 参照。 19x-24y=1 19-(-5)-24 (-4)=1 を辺々引いて 19(x+5)-24(y+4)=0

①（1）の印をつけてある｢9と5は互いに素であるから…｣からよくわかりません。 ② x=-5k-1、y=9k+2ではだめですか？ 2つわからないです。誰か教えてください🙏

506 基本例題 127 1次不定方程式の整数解 (1) ・・・ ax+by=1 ･･･ 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 9x+5y=1 解答 (1) 9x+5y=1 x=-1, y=2は ① の整数解の1つである。 よって 9・(-1)+5・2=1 ① ② から 9(x+1)+5(y-2)=0 すなわち 9(x+1)=-5(y-2) 9と5は互いに素であるから, x+1は5の倍数である。 ゆえに,を整数として, x+1=5k と表される。 ③に代入して 9.5k=-5(y-2) すなわちy-2=-9k よって, 解は x=5k-1,y=-9k+2 (kは整数) A って (2) 19x-24y=1 p.505 基本事項 [2] 指針 1次不定方程式の整数解を求める基本 まず, 1組の解を見つける (1) x,yに適当な値を代入して1組の解を見つける。 方法は何でもよいが,例えば [1] 係数が大きい x に 1, -1 などを代入して,yが整数となるようなものを調べる。 [2] 9x を移項して 5y=1-9x この右辺が5の倍数となるようなxの値を探す。 (2) 係数が大きいから, 1組の解が簡単に見つかりそうにない。 このようなときは,互除 法を利用して見つけるとよい。 解答下の注意 を参照。 ...... ...... ](2) x=-5, y=-4は方程式の整数解の1つである。 よって 19(x+5)-24(y+4)=0 ...... L③から すなわち 19(x+5)=24(y+4) 19 24 は互いに素であるから, x+5は24の倍数である。 ゆえに kを整数として, x+5= 24k と表される。 ④ に代入して 19.24k=24(y+4) すなわち y+4=19k よって, 解は x=24k-5,y=19k-4 (kは整数) ... ...... ...... ...... 00 演習 131 ...... 注意 19 24 で互除法を用いて, 1組の解x=-5, y=-4を見つける方法 24=19.1+5 移項して 24-19.1=5 ① 19=5.3+4 移項して 19-5・3=4 2 5=4・1+1 移項して 5-4.1=1 3 1組の解はどのようにと ってもよい。 例えば, x=4, y=-7でもよい。 <a b が互いに素で, ar が6の倍数ならば,nに 6の倍数である。 (a, b, nは整数) 下の注意 参照。 |19x-24y=1 19-(-5)-24-(-4)= を辺々引いて 19(x+5)-24(y+4)= 1=5-4・1=5(19-5.3)・1=19・(-1)+5・4=19(-1)+(24-19･1)・4 ･ 15に①を L4 に ② を代入整理

矢印の式変形が理解できません。この手の問題は全部この部分の計算ができなくて困ってます。あと、☆の流れは 不定方程式=1の整数解の1組が導き出せていたら、やらなくてもよい過程ですよね？教えていただきたいです🙇‍♂️

53 例題 124 不定方程式の整数解とユークリッドの互除法 不定方程式7x-17y=4 の整数解をすべて求めよ。 考え方 ユークリッドの互除法を利用して, 7x-17y=1の整数解を1組求め、 8881 Saps 辺を4倍する。 7x-17y=4......① 7と17は互いに素であるから, 7x-17y=1を満たす整数x,yが存在する。 7と17について,ユークリッドの互除法を利用すると, 17=7×2+3 ...2 10% 7=3×2+1 この計算を逆からたどっていくと, ③より, EDE 7-3×2=1 ......④ ②より 3=17-7×2 これを ④ に代入すると, -7-(17-7×2)×2=1 よって, RAHSON ac TAS ESE を利用する 18E TEE Ee x-20=17k, すなわち, x=17k+20 ⑦ に代入して, 7×17k=17(y-8) より, -3h 7×5-17×2=1....... が成り立ち, x=5, y=2は7x-17y=1の整数解の1組である。 ⑤ の両辺に4を掛けると, 7×20-17×8=4...... ⑥ ① - ⑥より, 7(x-20)-17(y-8)=0 7(x-20)=17(y-8) ......⑦ 7 と 17 は互いに素であるから,⑦よりkを整数として, 8=(1+x)2 (£) (E) y=7k+8 よって, x=17k+20, y=7k+8 (kは整数) KOLI

143です。解説にそれぞれの1次不定方程式の整数解が書いてありますが、これは自分で思いつくしかないのでしょうか？それとも求める方法があるのですか？教えていただきたいです🙇‍♂️

143 1次不定方程式の整数解の存在条件 判断力 次のO~0の1次不定方程式のうち,整数解 (x, y) が存在しないものを1 つ選べ。 「ア 0 23x-31y=1 0 23x-31y=-2 481x+407y=1 0 481x+407y=37

整数についてです。 写真の問題において、黄色でマークしているところなどの符号の付け方がイマイチよくわからないので解説お願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

(2) 係数が大きいから, 1組の解が簡単に見つかりそうにない。このようなときは、互輪 00000 [1] 係数が大きいxに1,-1などを代入して,ッが整数となるようなものを調べる。 506 基本 例題127 1次不定方程式の塁数県() 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (2) 19x-24y=1 さ太」 p.505 基本事項 2 (1) 9x+5y=1 演習131 にに まず,1組の解を見つける 指針>1次不定方程式の整数解を求める基本 1] 係数が大きいxに1,-1などを代入して、 yが整数となるようなもの 「21 9xを移項して 5y=1-9xこの右辺が5の倍数となるようなxの価る。 み 50 法を利用して見つけるとよい。解答下の注意を参照。 解答 (1) 9x+5y=1 の の x=-1, y=2 は①の整数解の1つである。 の 41組の解はどのようにと ってもよい。例えば、 x=4, y=-7でもよい。 9-(-1)+5-2=1 9(x+1)+5(y-2)=00 9(x+1)=-5(y-2) ③ 9と5は互いに素であるから, x+1 は5の倍数である。 ゆえに,kを整数として,x+1=5k と表される。 3に代入して 9-5k=-5(y-2)すなわち y-2=-9k よって の-2から の すなわち 4a, bが互いに素で, an が6の倍数ならば、, nは bの倍数である。 (a, b, n は整数) よって,解は x=5k-1, y=19k+2(kは整数)… 日(2) x=-5, y=-4は方程式の整数解の1つである。 19(x+5)-24(y+4)=0 19(x+5)=24(y+4) 19と 24 は互いに素であるから,x+5は24の倍数である。 ゆえに,kを整数として, x+5=24k と表される。 下の注意参照。 419x-24y=1 *19-(-5)-24-(-4)=1 を辺々引いて 19(x+5)-24(y+4)=0 よって すなわち のに代入して 19-24k=24(y+4) すなわち y+4=19k よって,解は x=24k-5, y=19k-4(kは整数)

(1)で、なぜx≧1番かつy≧1という条件があるのですか？

56 不定方程式の整数解(2) (1) 方程式 5x-11y=1 を満たす自然数の組 (x, y) のうち, xの値が0に 近いほうから9番目の組を求めよ. (2) 方程式37x+23y=1 を満たす整数の組 (x, y) のうち, yの値が 40 に 最も近い組を求めよ. (東京農業大) 解答 5x-11y=1 0 (Step 1) ①を満たす整数の解を1つ見つける。 この解を「特殊解」 という x=-2, y=-1は①を満たすから, 5(-2)-11(-1)=1 が成り立つ、O-のより, 5(x+2)-11(y+1)=0 …の (Step 2) 問題の式①と, 特殊解を代入した式 2を準備して,①-② を計算して, 3のような形にする 3の右辺は11の倍数なので左辺も 11の倍 数であり,5と 11 は互いに素であるから, x+2=11k(k は整数) (Step 3) 互いに素であることに注目して, x(あるいはy)を,整数kを用いて 表す x=11k-2 このとき,3より, 5-11k=11(y+1) 5k=y+1 (Step 4) k を用いて表した (x, y)が, 無数に 存在するすべての解 (x, y) を表して いる。この(x, y) を「一般解」 という y=5k-1 以上より,①を満たす整数の組(x, y) は, (x, y)=(11k-2, 5k-1) である。 り ここで,x21 かつy21であるのは, 整数kが, k21 のときである。よって, xの値が0に近いほうから9番目であるものは,k=9 の場 合を考えればよく, (x, y)=(97, 44)

白チャート数IA 整数の問題です。 赤い四角が、問題と解答です。 青い線が疑問部分です。 青い線の部分に「nは整数x、yを用いて‥」と書いてありますが、問題文に「自然数n」と書いてあるので、xとyは自然数でないといけないのではないのでしょうか？

|14で割ると5余り,9で割ると7余る自然数nのうち,3桁で最大のものを 不定方程式の整数解の利用 451 礎例題 104 基礎例題103 求めよ。 CHDL Q GUIDE) 1次不定方程式の整数解の利用 1 条件からx, yを整数として, nは 14x+5, 9y+7 と 2通りに表され, 14x+5=9y+7 から 14x-9y=2 用する。 2 14 と9は互いに素であるから,14x-9y=2 の整数解が求められる。 解は整数えを用いて表される。 3 解が求められたら,不等式n<1000 を満たす最大の整数kの値を調べ る。 さ 5章 日解答日 nは整数x, yを用いて 二公 22 n=14x+5, n==9y+7 と表される。 aをbで割った商をq, 14x+5=9y+7 余りをrとすると りが ある。 よって すなわち 14x-9y=2 の a=bq+r メ=2, y=3 は 14x-9y=1 の整数解の1つであるから 長せた 解がすぐに求められなけ れば互除法を利用する。 14=9·1+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1 から 1=5-4-1 =5-(9-5-1).1 =5-2+9·(-1) =(14-9-1)-2+9·(-1) 14·2-9-3=1 この両辺を2倍して かっ 14·4-9-6=2 14(x-4)-9(y-6)=0 ASS 0-2から 14と9は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは 二案な x-4=9k すなわち x=9k+4(kは整数) と表される。 =14-2-9-3 したがって n=14x+5=14(9k+4)+5=126k+61 『n<1000 とすると 126k+61<1000 313 よって kく 42 -126k<939 0を満たす最大の整数えは ゆえに,求めるnは 313 =7.4… … 42 k=7 n=126-7+61=943 14で割ると5余る自然数は 9で割ると7余る自然数は 5, 19, 33, 47, 61, 75, 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, よって, nの最小値は 61 で, 14と9の最小公倍数は 14·9=126 であるから n=61, 61+126·1, 61+126-2, このようにしてnをんの式で表すこともできる。 すなわち n=61+126k(kは0以上の整数) 1次不定方程式| の000

黄チャートの参考の所で、x=2、y=3を利用する解き方で解きたいです。 すると答えが合いませんでした。 どこで間違えたのでしょうか。 分かる方、教えてください🙏🏼

基本例題123 1次不定方程式の整数解の利用 12 で割ると1余り,7で割ると4余る3桁の目然数のうち最大の数を そこで,まず方程式 12x+1=7y+4 の整数解を求め,それから題意の自然数を 00 条件を満たす自然数は, 整数x, y を用いて, 12x+1, 7y+4と2通りに表される。 基本122 CHART OSOLUTION 1次不定方程式の整数解の利用 条件から ax+6y=c の形に変形 …の 求める。 解答) 求める自然数をnとすると, nはx, yを整数として, 次のよう に表される。 e 合aをもで割った商をg | 余りをrとすると n=12x+1, n=7y+4 よって 12x+1=7y+4 a=bq+r 『すなわち 12.x-7y=3 *=3, y=5は、12x-7y=1 の整数解の1つであるから」>台 まず, ① の右辺を1とし た方程式 12x-7y=1 12·3-7-5=1 S の整数解を求める。 両辺に3を掛けると 12-9-7-15=3 12(x-9)-7(y-15)=0 12(x-9)=7(y-15) 12 と7は互いに素であるから,③ を満たす整数xは x-9=7k すなわち x=7k+9 (kは整数) の-2 から すなわち …3 nを求めるためには x, yの一方が求まれば よい。 と表される。 したがって n=12x+1=12(7k+9)+1=84k+109 84k+109 が3桁で最大となるのは, 84k+109<999 を満たす kが最大のときであり,その値は このとき 参考 解答では, 12x-7y=1 の整数解の1つを求め,それか *84k+109999 から k=10 999-109 n=84·10+109=949 k< 84 =10.5… ら3を導いて解いた。 大 しかし,例えば x=2, y=3 が①の整数解の1つであ 12-2-7-3=3 と0から 12(x-2)-7(y-3)=0 ることに気がつけば,これを用いて解いてもよい。 本間のように,x, yの係数が比較的小さいときは, 整数 解の1つを直接見つけて解いてしまった方が早い場合も ある。