Question

くう

143です。解説にそれぞれの1次不定方程式の整数解が書いてありますが、これは自分で思いつくしかないのでしょうか？それとも求める方法があるのですか？教えていただきたいです🙇‍♂️

143 1次不定方程式の整数解の存在条件
判断力
次のO~0の1次不定方程式のうち,整数解 (x, y) が存在しないものを1
つ選べ。
「ア
0
23x-31y=1
0 23x-31y=-2
481x+407y=1
0 481x+407y=37

解
答
05自然数をnとすると
数)とおけるか。
481x+ 407y=37 の両辺を37で割ると
13x+11y=1
+2)+1-3. Aの倍数である。
いら,n+1
*が。れと②を満たす自然数 yは
って,条件を満たす自然数 x, yの組は
(x, y)=(3, 15), (6, 11), (9, 7)
これは整数解(x, y)=(-5, 6) をもつ。
よって, 481x+407y=37 は整数解
y=7, 11, 15
つ, Aは3の悩 73通りある。
から,Aは16
(x, y)=(-5, 6) をもつ。
の 481x+407y=1が整数解(a, b) をもつと
仮定すると
すなわち
13a+116 は整数であるから,左辺の
37(13a+ 116) は37の倍数である。
一方,右辺の1は37 の倍数でないから,矛盾。
よって,481x+407y=1 が整数解をもたない。
したがって,整数解(x, y) が存在しないものは
13 で割った余りが2,9で割った余りが5とな
481a+4076=1
37(13a+116)=1
n=13x+2, n=9y+5 (x, yは整数)
C10.0
- 207
「表される。
161
E6
13x+2=9y+5
13x-9y=3 0
よって
ゆえに
ビ=3, y=4は, ① の整数解の1つである。
よって
D-2から
ア23
13-3-9.4=3
13(x-3)-9(y-4)=0
13(x-3)=9(yー4)
の
まは
すなわち
13と9は互いに素であるから,x-3は9の倍数
- TRIAL-
144 (1 次不定方程式)
(1) のから
ソ=1のとき
これを満たす自然数xは存在しない。
分数で表すとである。
7x=31y+1
7x=32
よって,x-3=9k (kは整数)と表される。
n=13x+2=13(9k+3)+2
=117k+41
イ 61
131
ゆえに
7x=63
D00T
x=9
k=8のとき
k=9のとき
nのうち,3桁で最大のものは
n=117-8+41=977
n=117-9+41=1094
1977
y=2 のとき
これを満たす自然数 xは
よって,不定方程式①の解となる自然数 x, y
の中で,xの値が最小となるのは
解の1つであ
42 (等式を満たす整数の組)
mn+ m-2n-2=m(n+1)-2(n+1)
HTOLO0001-8EIS
000%
x=9, y=2 は①の自然数解の1つであるから
x=79, y=12
- STEP -
yー1)=0
リー1)
x-2 は70
7.9-31-2=1
7(x-9)-31(yー2)=0
7(x-9)=31(y-2)
=(m-72)(n+1)
D-2 から
これを利用して,mn+m-2n=6を変形する
ゆえに
7と31 は互いに素であるから,x-9は31 の倍
数である。
よって,x-9=31k (k は整数)と表される。
これを3に代入すると
mn+ m-2n-2=6-2
(m-2)(n+1)=4
と
-2=7k と表
-1=4k
ソ=4k+! 積が4となる整数 m-2, n+1の組は
よって
m, nは整数であるから, m-2とn+1はとも
に整数である。
7-31k=31(y-2)
yー2=7k
したがって,①のすべての整数解は, kを整数
x=ウエ31k+9, y=*7k+2
すなわち
るから
として
と表される。
-組(x, y)よって, 等式を満たす整数 m, n の組は
(2) 自然数 nを7で割った商をm,余りをrとお
n=7m+r (r=0, 1, ……
n?=49m?+14mr+r?
=7(7m?+2mr) +r?
ゆえに,n?を7で割った余りは,y?を7で割っ
くと
6)
の76組ある。
そのうち,|m+|川が最小となる組は
よって
すもりをy
57
(m, n)=(F0,オカー3)
た余りに等しい。
143 (1次不定方程式の整数解の存在条件)
0 23 と 31 は互いに素であり,23x-31y=1
は整数解(x, y)=(14, -3) をもつ。
0 23 と 31 は互いに素であり,23x-31y=-2
は整数解(x, y)=(8, 6) をもつ。
0 481=37-13, 407=37·11 であるから,
の
と?の値は次の表のようになる。
19-)<0
6
ア
0
1|2|3
4
5
y2
4
9|16| 25| 36
18
19-
したがって,アを7で割った余りが2となるの
より、

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

i_r

自分で思いつくしかありませんが、思いつきやすくする方法はあります。

くう

なりほど！これは時間がかかるので、思いつくように問題数こなすしかないですね…。ありがとうございました🙇‍♂️