定積分と微分法に関する問題です。 解説に積分のインテグラルの範囲がxからaだったのが、マイナスをつけて上端下端を逆にしています。何故ですか。

p.323 基本事項2 数αの値を求めよ。 TAT (2) Saf(t)dt=x-3x X

(3)の下線部？の説明お願いします

第9章 69 関数f(x)=x3x² +2について, 次の問いに答えよ. (1) y=f(x) の増減を調べ, 極値を求めよ.また, グラフの概形をかけ. (1) (3) a ≦x≦aにおけるf(x) の最大値M を求めよ.ただし,aは定数で a>0と (2) 2 する. する. 解答 思考のひもとき 1. f'(x) が存在するとき, y=f(x)がx=αで極値をとる 微分法 a ≦x≦aにおける f(x) の最小値m を求めよ.ただし, aは定数でα> 0 と 2 (宇都宮大) f(x)=x-3x2+2 ・･････ ① ①をxで微分すると f'(x)=0かつx = α の前後でf'(x) の符号が変化する f'(x)=3x²-6x=3x(x-2) f'(x)=0 とすると x=0, 2 よって増減表は |f'(x) + .. よって f(x) f(x) 7 (2)a>0より 0 0 極大 1: 2 0 極小 + a 1/1/80/両辺であった) 2 y=f(x)のグラフを考えて 値はf(0) を求めると 3)=0 第9章 微分法 (極大値)=f(0)=2, (極小値)=f(2)=-2 (12) <f(0)=2 f(a) のいずれかである. x-3x2+2=2 x=0, 3 AV ~ AX 微分法 ここより右にひが ある場合

至急です。丸がついている箇所解説できる方お願いします。

7月12日夜B配布演習問題 13 次の関数を微分せよ。 ただし, a, b は定数とする。 (1) y=sin(x+a)cos(x-a) 14 次の関数を微分せよ。 (1)_y=- 1 x+1 (4) _y= x-1 x2+1 15 次の極限値を求めよ。 sin x - sin a sin(x-a) (1) lim x→a (2)y= (5)y=- .sin x 2x x+3 (4) y=x^ (2) _y=√√a²cos²x+b²sin²x x2-x+1 (2) lim- x→a (3)y= 17 逆関数の微分法の公式を用いて,次の関数を微分せよ。 (1) y=x* (2)y=x x 10 (6)y= x²sin a - a²sin x x-a 16 次の関数を微分せよ。 ただし, a b は定数で,a> 0, a≠1 とする。 (1)y=e-2*sin 2x (2)y=10sinx (3)y=logxa (4) y=log (log x) (5) y=loga (sinx) (6) y=log(1–cosx) (7)_y=log₁(x+√√√x² − a²) (8) y=log- x²-b x2+6 18 次の関数を微分せよ。 ただし, (14)ではx0 とする。 (1)y=xs ((2)) y=xe* (3) (5) y=(sin x)* (0<x<π) 1 2 x²-1 x3-4x+1 x-2 y=xlogx 19 次のことが成り立つことを証明せよ。 ただし, a, b は定数とする。 (1)y=x√1+x2のとき (1+x2)y"+xy'=4y (2) y=e-2x(acos2x+bsin2x) のときy"+4y'+8y=0 (6) y=(log x)* (x>1)

問10はどのようにして解けばいいですか？

5 第6章 微分法と積分法 223 章末問題 B 10 関数 f(x)=x+3x²+kxが常に増加するように、 定数kの値の範囲を a+ + 定めよ。 11 kは定数とする。 x≧0のとき,不等式 x6x²+k≧0 が成り立つよ うなんの値の最小値を求めよ。 3 12 右の図のように、半径10の球に内接する すい 直円錐がある。 このような直円錐の体積V の最大値 V1 と球の体積 V2 の比を求めよ。 10 0 x

この問題でなぜ逆の確認が必要なんですか？x^3の係数は正なので、x=-1で極大値、x=3で極小値をもつことは明らかだと思うのですが、、、(x=-1,3で極値をもつということは、f'(x)=0は、x=-1,3を解にもち、f(x)を微分して得られるf'(x)のx^2の係数は正な... 続きを読む

376 第6章 微分法 Check 例題 208 極値より関数の決定 (足利工業大) 3次関数f(x)=x+ax+bx+c は x=-1 で極大値をとり、x=3 で極小値-25をとる。 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. 考え方 与えられた条件より、 増減表をかく. 解答 練習 208 *** Focus x=-1 で極大値をとる f'(-1)=0 で, x=-1 の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる. x=3 で極小値-25をとる” f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. また,f'(a)=0 であっても, x=α で極値をとるとは限らない. さらに, 極値が極大値 極小値かの判定もできないので、確認が必要である. x f'(x) + CAN C -1 0 y=f(x) の増減表が右の ようになるときを考える. f(x)=x^3+ax2+bx+c f(x) 極大 より、 f'(x)=3x²+2ax+b 増減表より, f'(-1)=3-2a+b=0 3 0 + 極小 -25 7 ① f'(3) =27+6a+b=0x) (1+x)-..... ② f(3)=27+9a+36+c=-25 ....... 3③ 0-1- ①,②,③を解いて, また,このとき, f(x)=x-3x2-9x+2 斬働く a=-3, b=-9, c=2 f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3) より 増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3,6=-9, c=2, 極大値7 *** (xx-y=f(x) が x=α で極値をとる ⇒ f'(a)=0 18f'(a)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② からa,bを 求め③に代入する. 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値、x=3で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x=-1で極小値、x=3で極大値25」という条件でも、④, ② ③の 式が出てくるがそのとき, 求まる or, b,c は、この条件を満たさない。 つまり, ①, ② からは x= -1, 3 で f'(x)=0 となること, ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注》極値をとるときのxの値x=-1,3は,f'(x)=0 の2つの解であることから,解と 係数の関係を用いてα, b の値を求めてもよい。 例題2 関数 に、定 考え方 (1) 関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数a,b,cの値を求めよ. (2) 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるというま た,その極大値は2で極小値は2であるという。このとき、条件を満た す関数 f(x) をすべて求めよ。 p.3890 よ G

この問題ではなぜ逆の確認が必要なんですか？x^3の係数は正なので、x=-1で極大値をとり、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、

376 第6章 微分法 Check 例題 208 極値より関数の決定 (足利工業大) 3次関数f(x)=x+ax+bx+c は x=-1 で極大値をとり、x=3 で極小値-25をとる。 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. 考え方 与えられた条件より、 増減表をかく. 解答 練習 208 *** Focus x=-1 で極大値をとる f'(-1)=0 で, x=-1 の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる. x=3 で極小値-25をとる” f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. また,f'(a)=0 であっても, x=α で極値をとるとは限らない. さらに, 極値が極大値 極小値かの判定もできないので、確認が必要である. x f'(x) + CAN C -1 0 y=f(x) の増減表が右の ようになるときを考える. f(x)=x^3+ax2+bx+c f(x) 極大 より、 f'(x)=3x²+2ax+b 増減表より, f'(-1)=3-2a+b=0 3 0 + 極小 -25 7 ① f'(3) =27+6a+b=0x) (1+x)-..... ② f(3)=27+9a+36+c=-25 ....... 3③ 0-1- ①,②,③を解いて, また,このとき, f(x)=x-3x2-9x+2 斬働く a=-3, b=-9, c=2 f'(x)=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3) より 増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3,6=-9, c=2, 極大値7 *** (xx-y=f(x) が x=α で極値をとる ⇒ f'(a)=0 18f'(a)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② からa,bを 求め③に代入する. 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値、x=3で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x=-1で極小値、x=3で極大値25」という条件でも、④, ② ③の 式が出てくるがそのとき, 求まる or, b,c は、この条件を満たさない。 つまり, ①, ② からは x= -1, 3 で f'(x)=0 となること, ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注》極値をとるときのxの値x=-1,3は,f'(x)=0 の2つの解であることから,解と 係数の関係を用いてα, b の値を求めてもよい。 例題2 関数 に、定 考え方 (1) 関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数a,b,cの値を求めよ. (2) 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるというま た,その極大値は2で極小値は2であるという。このとき、条件を満た す関数 f(x) をすべて求めよ。 p.3890 よ G

紙に解き方解説お願いします！

2. 関数f(x)=|x+1|e-2x(x-2)について,次の問に答えよ。 【4点×4=16点】 (1) 極大値極小値があれば求め、 なければなしと答えよ。 最大値・最小値があれば求め、 なければなしと答えよ。 (2) (3) y=f(x)のグラフをかけ。 (4)kを定数とするとき、xについての方程式f(x)=kの異なる実数解の個数を調べよ。

新高1です。 数学Ⅲの微分法で漸近線を求める時に、X→∞に近づけたり、X→a±0に近づけたりと、①.②.③の使い分けが分かりません。誰か親切な方教えてくれませんか？😆

数学Ⅲで扱う関数のグラフは,漸近線をもつものも多い。ここで,漸近線をどのよう 漸近線の求め方 して求めればよいかについて説明しておく。 [画 曲線 y=x+1+ ここで, -x=1+ x→±∞のとき x-1 直線y=x+1 に近づいていく。 これが漸近線の1つである。 また, x1±0のとき したがって、 について →0であるから曲線は 一般に,関数y=f(x)のグラフに関して,次のことが成り立つ。 ① x軸に平行な漸近線 limf(x) =α または lim f(x) =α ⇒直線y=aは漸近線。 X-8 x- ② x軸に垂直な漸近線 lim f(x) =∞ または lim f(x) =∞ または lim f(x)=∞ xb+0 x→b+0 x→b-0′ lim f(x)=-∞ ⇒直線x=b は漸近線。 xb-0 X y →±∞ (複号同順) 直線x=1 も漸近線である。 軸に平行でも垂直でもない漸近線 lim{f(x)-(ax+b)}=0 または lim {f(x)-(ax+b)}=0 X→∞ ここで、③に関し, a, b は α=lim より求められる。 Ital [説明] 漸近線は, 曲線上の点P(x, f(x)) が原点から無限に遠ざかると き,Pからその直線に至る距離PHが限りなく小さくなる直線である。 直線y=ax+bが曲線y=f(x) の漸近線で,Pからx軸に下ろした 垂線と,この直線との交点を N (x,y) とする。 PHPNは一定であるからPH→0のとき PN=1f(x)-y|=|f(x)-(ax+b)| = |x1|1(x)-a-1 | b ⇒直線y=ax+6は漸近線。 f(x) →0であるから また, f(x)-(ax+b) →0であるから なお、上の例の曲線では,x → ±∞のとき x→±∞ 9 435\>x>0 (020) (0) →0(x→または-∞) f(x) b=lim{f(x)-ax} を計算することに 8 a → 0 すなわち f(x) -ax→b y=1+ x 1 f(x) + → a - YA または O 0 ya 1, 1 - 1 であることからも, 直線y=x+1が漸近線であることがわかる。 x(x-1) y=f(x)/ P (x, f(x)) Ⓒy=ar-i H N(x, J

微分法の応用の問題です。 この問題の増減表を書くとしたらどのようになりますか。また、グラフを書くとしたらどのようになりますか。 自分なりに増減表を書いてみたのですが、あまりしっくりきません。（2枚目の写真）

例題 次の曲線の凹凸を調べ, 変曲点を求めよ。 7 y=x+sinx (0<x<2π) 解 y'=1+cos x, y"=-sinx 156 159 y" =0 となる x は 0<x<πのときy"<0, x<x<2πのときy">0 よって、曲線は0<x<πで上に凸であり, "<x<2πで下に凸である。 x=π また, 変曲点は点 (π, π) である。

(2)の2行目の式変形が分かりません

74 指数関数の最大・最小 a> 0, x>0)のとき, f(x)=xe - について,次の問いに答えよ、 (1) f(x) の最大値Mをαで表せ. (2) Mが最小となるαを求めよ. 基本的には, 62, 63 と同様ですが, 大きな違いは,定数αが含まれ ていることです。 これによって, 方程式 f'(x)=0 の解を求める場面で,その解に入 a 字αが含まれることになり、 場合分けが起こるかもしれません。 解答 (1) x>0 のとき f'(x)=ara-le-xe- =xª-¹e-¹(a-x) IC 0 lex>0 だから, f'(x) 0 f'(x)=0 のとき f(x) 7 ae-al x=a よって, 増減は右表のようになる. .". M=aªe-a 注 もし a>0 がなければ, 0とαの大小の判断がつかないので場合 分けをすることになります. (I) (2) M = αe - において, a>0 だから, log M=log aªealog M= aloga-a 両辺をαで微分すると, 【対数微分法: 63 M' -=loga+ ga+a: 1-1 M ~M'=Mloga ... 1 M>0 だから, M' = 0 のとき α=1 20 よって, 増減は右表のようになり, Mは α=1のとき 最小. : + 0 a M' M ✓ T e-¹ : + 7