121.2.イ 記述の場合、 「法5と3は互いに素だから、」 という記述は必要ですか？？

494 演習 例題 121 合同式の性質の証明と利用 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 2, および次の性質 5を証明せよ。 ただし は整数, m は自然数とする。 5aとが互いに素のとき ax=ay (modm) x=y (modm) (2) 次の合同式を満たすx を, それぞれの法mにおいて, x=a (modm)[aは より小さい自然数] の形で表せ (これを合同方程式を解くということがある)。 (ア) x+4=2 (mod6) (イ) 3x≡4 (mod 5 ) p.492 基本事項③3) 指針 (1) 方針は p.493 の証明と同様。 ■ (mod m) のとき, ■はmの倍数である。 合同式 加法・減法・乗法だけなら普通の数と同じように扱える (2) (イ)「4≡(mod5) かつが3の倍数」となるような数を見つけ, 性質5を適用する。 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk,c-d=ml (k,lは整数) と表され a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(b+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-l ゆえに a-c-(b-d)=m(k-l 5 ax=ay (modm) ならば, ax-ay=mk(kは整数)と表 され a(x-y)=mk aとは互いに素であるから x-y=ml (lは整数) よってx=y (mod m) (2)(ア) 与式から x=2-4 (mod 6 ) -24 (mod6) であるから (イ) 49 (mod5) であるから, 与式は 法5と3は互いに素であるから 2040 よって a-c=b-d (mod m) x=4 (mod6) 3x=9 (mod 5) x=3 (mod 5) の倍数 → = ▲k(kは整数) <pg が互いに素でpk が α の倍数ならば、k はgの倍数である。 性質2. 移項の要領。 1-2-4-6 (6の倍数) また, 推移律を利用。 性質5を利用。 検討 合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2)(イ)については,次のような表を利用する解答も考えられる。 別解 (イ) x=0, 1 2 3 4 について, 3xの値は右の表 のようになる。 3x=4 (mod5) となるのは, x=3のと きであるから x=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは, 「a と が互いに素」であるときに限られる。 例えば, 4x4 (mod 6 ) ① については, 4 と法6は互いに素ではないから, ① より x≡1(mod6) としたら誤り! x 0 1 2 4x 0 x 0 1 2 3 4 3x 0 3 6 1 9=4 12=2 表を利用の方針で考えると、 右の表からわか るようにx=1, 4 (mod6) である。 x = (mod m) または x = (modm) を 「x=a, 6 (modm)」と表す。 ] a 3 5 4 8=2_12=0_16=4 20=2 4 (1) p.492 基本事項の合同式の性質を証明せよ。 練習 3 121 (2) 次の合同式を満たすx を, それぞれの法mにおいて, x=α (modm) の形で 表せ。 ただし,αはmより小さい自然数とする。 (ア)x-7=6 (mod 7) (1) 4x=5 (

121.2.イ 解答2行目の「法5と3は互いに素なので」 とはどういうことですか？ 単純に3x≡9 (mod5)が3xと9で約分できる、 という発想ではないということですか？

494 演習 例題 121 合同式の性質の証明と利用 00000 (1) か.492 基本事項の合同式の性質 2、および次の性質を証明せよ。 ただし は整数, m は自然数とする。 5aとが互いに素のとき ax=ay (modm)⇒x=y (modm) (2)次の合同式を満たすxを,それぞれの法mにおいて, x=a(mod m) [a は mより小さい自然数] の形で表せ(これを合同方程式を解くということがある)。 (ア)x+4=2 (mod 6 ) (イ) 3x≡4 (mod 5 ) 指針 pp.492 基本事項 ③3 (mod m) のとき, -■はmの倍数である。 合同式 加法・減法・乗法だけなら普通の数と同じように扱える (イ) 「4 (mod 5) かつ 指針▷ (1) 方針はp.493の証明と同様。 (2) 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk,c-d=ml (k, lは整数) と表され 性質を適用する。 が3の倍数」となるような数を見つけ, a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(6+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-l ゆえに a-c-(b-d)=m(k-1) (2) (ア) 与式から 5ax=ay (modm) ならば, ax-ay=mk(kは整数)と表 され a(x-y)=mk aとは互いに素であるから x-y=ml (lは整数) よってx=y (mod m) x=2-4 (mod 6 ) 24 (mod6) であるから (イ) 49 (mod5) であるから、与式は 法5と3は互いに素であるから ...... よって a-c=b-d (modm) x=4 (mod 6 ) 3x=9 (mod 5) x=3 (mod 5) の倍数 → = ▲k(kは整数) <pg が互いに素でpk が g の倍数ならば k はgの倍数である。 検討 合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2)(イ)については, 次のような表を利用する解答も考えられる。 別解 (イ)x=0, 1,2,3,4について, 3xの値は右の表 のようになる。 3x=4 (mod5) となるのは, x=3のと きであるからx=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは, 「aとが互いに素」であるときに限られる。 例えば, 4x=4 (mod6) ① については, 4と法6は互いに素ではないから, ①よりx=1 (mod6) としたら誤り! 性質2。 移項の要領。 -2-4-6 ( 6の倍数) また, 推移律を利用。 性質を利用。 XC 01 2 3 4 3x 0 3 6=1 9=4 12=2 2 表を利用の方針で考えると,右の表からわか るように x=1, 4(mod 6 ) である。 x = (mod m) またはx=6 (modm) を x=a,b (modm)」と表す。] x 0 1 3 4 5 4x 0 4 8=2_12=0_16=4 20=2 漢 練習 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 を証明せよ。 ③ 121 (2) 次の合同式を満たすxを, それぞれの法mにおいて, x=a (mod m) の形で 表せ。 ただし, a はより小さい自然数とする。 (ア) x-7=6 (mod 7 ) (イ) 4x5 (mod11) (ウ) 6x=3 (mod 9 ) (1 IC (1) F

121.1 a-c-(b-d)=m(k-l)なら a-c≡b-d (mod m(k-l))になりませんか？？

494 演習 例題 121 合同式の性質の証明と利用 00000 (1) か.492 基本事項の合同式の性質 2、および次の性質を証明せよ。 ただし は整数, m は自然数とする。 5aとが互いに素のとき ax=ay (modm)⇒x=y (modm) (2)次の合同式を満たすxを,それぞれの法mにおいて, x=a(mod m) [a は mより小さい自然数] の形で表せ(これを合同方程式を解くということがある)。 (ア)x+4=2 (mod 6 ) (イ) 3x≡4 (mod 5 ) 指針 pp.492 基本事項 ③3 (mod m) のとき, -■はmの倍数である。 合同式 加法・減法・乗法だけなら普通の数と同じように扱える (イ) 「4 (mod 5) かつ 指針▷ (1) 方針はp.493の証明と同様。 (2) 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk,c-d=ml (k, lは整数) と表され 性質を適用する。 が3の倍数」となるような数を見つけ, a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(6+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-l ゆえに a-c-(b-d)=m(k-1) (2) (ア) 与式から 5ax=ay (modm) ならば, ax-ay=mk(kは整数)と表 され a(x-y)=mk aとは互いに素であるから x-y=ml (lは整数) よってx=y (mod m) x=2-4 (mod 6 ) 24 (mod6) であるから (イ) 49 (mod5) であるから、与式は 法5と3は互いに素であるから ...... よって a-c=b-d (modm) x=4 (mod 6 ) 3x=9 (mod 5) x=3 (mod 5) の倍数 → = ▲k(kは整数) <pg が互いに素でpk が g の倍数ならば k はgの倍数である。 検討 合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2)(イ)については, 次のような表を利用する解答も考えられる。 別解 (イ)x=0, 1,2,3,4について, 3xの値は右の表 のようになる。 3x=4 (mod5) となるのは, x=3のと きであるからx=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは, 「aとが互いに素」であるときに限られる。 例えば, 4x=4 (mod6) ① については, 4と法6は互いに素ではないから, ①よりx=1 (mod6) としたら誤り! 性質2。 移項の要領。 -2-4-6 ( 6の倍数) また, 推移律を利用。 性質を利用。 XC 01 2 3 4 3x 0 3 6=1 9=4 12=2 2 表を利用の方針で考えると,右の表からわか るように x=1, 4(mod 6 ) である。 x = (mod m) またはx=6 (modm) を x=a,b (modm)」と表す。] x 0 1 3 4 5 4x 0 4 8=2_12=0_16=4 20=2 漢 練習 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 を証明せよ。 ③ 121 (2) 次の合同式を満たすxを, それぞれの法mにおいて, x=a (mod m) の形で 表せ。 ただし, a はより小さい自然数とする。 (ア) x-7=6 (mod 7 ) (イ) 4x5 (mod11) (ウ) 6x=3 (mod 9 ) (1 IC (1) F

(2)の(イ)の問題の最初の部分は9≡4(mod5)であるから、と書いても平気ですか？💦 教えてくださると嬉しいです🙇‍♀️

(イ)「4=●(mod5)かつ ● が3の倍数」となるような数を見つけ, 性質5を適用する。 は m の倍数である、 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 2, および次の性質5を証明せよ。ただし、 (2) 次の合同式を満たすxを, それぞれの法 m において, x=a(mod m) la t 加法·減法·乗法だけなら普通の数と同じように扱える 494 OO000 演習 合同で 演習 例題121 合同式の性質の証明と利用 は整数,m は自然数とする。 5aとm が互いに素のとき mより小さい自然数] の形で表せ(これを合同方程式を解くということ。 (ア) x+4=2(mod 6) (イ) 3x=4(mod 5) 指針に p.492 基本事項 指針> (1) 方針はか、493 の「証明と同様。 =■(mod m) のとき, 合同式 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk, c-d=ml (k,1は整数) と表され AAの倍数 ,=Ak (k は整数) a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(b+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-1) ゆえに a-c-(6-d)=m(k-1) 5 ax=ay (mod m) ならば, ax-ay=mk (kは整数)と表 され 価会 よって a-c=b-d(mod m) p, qが互いに素で a(x-y)=mk x-y=ml (1は整数) x=2-4(mod 6) aとm は互いに素であるから よって x=y(mod m) がqの倍数ならば、 k はqの倍数である。 (2)(ア) 与式から -2=4(mod 6)であるから (イ) 4=9 (mod 5) であるから,与式は 法5と3は互いに素であるから 9=4Chods) 4性質 2。移項の要領。 x=4(mod 6) 3x=9(mod 5) イ-2-4=-6 (6 の倍数) また,推移律を利用。 x=3(mod 5) (性質5を利用。 検討)合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2) (イ)については, 次のような 表を利用 する解答も考えられる。 別解 (イ) x=0, 1, 2, 3, 4について, 3xの値は右の表 のようになる。3x=4(mod 5) となるのは, x=3のと きであるから x=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは,「aとmが互いに素」であるときに限られる。 例えば,4x=4 (mod 6) - ①よりx=1 (mod 6) としたら 誤り! 表を利用 の方針で考えると, 右の表からわか るように x=1, 4(mod6) である。 [x=a(mod m)またはx=b(mod m) を「x=a, b(mod m)」と表す。] x 0 1 3 4 3x || 0 3 6=1 9=4 12=2 のについては, 4と法6は互いに素ではないから, 5 x 0 1 2 3 4 練習 (1) p.492 基本事項の合同式の世面 2@

（ア）って、x≡-2じゃだめなんですか？

(2) 次の合同式を満たすxを,それぞれの法 mn において,x=a(mod m) [a は mより小さい自然数]の形で表せ(これを合同方程式を解くということがある、 (ア) x+4=2(mod 6) (A)o) 1p.492 基本事項) 指針>(1) 方針は p.493 の証明と同様。 (2) O 合同式 =■(mod m)のとき,●一園は m の倍数である。 加法·減法,乗法だけなら普通の数と同じように扱える でん (イ)「4=●(mod 5) かつ●が3の倍数」となるような数を見つけ, 性質5を適用する。 解答 イAの倍数 (1) 2 条件から, a-b=mk, c-d=ml (k, 1は整数) と表され =Ak (k は整数) a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(6+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-1) ゆえに a-c-(6-d)3m(k-1) よって a-c=b-d(mod m) 5 ax=ay (mod m) ならば,ax-ay=mk (k は整数)と表 aとm は互いに素であるから よって x=y(mod m) a(x-y)=mk x-y=ml (1は整数) I6, qが互いに素でかた がqの倍数ならば、k はqの倍数である。 され x=2-4(mod0)- (2)(ア) 与式から -2=4(mod 6)であるから (イ) 4=9(mod5)であるから,与式は 法5と3は互いに素であるから 「性質 2。移項の要領。 |-2-4=-6 (6の倍数) また,推移律を利用。 x=4(mod 6) 合武代階 3x=9(mod 5) 先 x=3(mod 5) 性質5を利用。

⑵のアから分からないです、 移行するところまでは分かったんですが、そのあとどうしてそうなるのか理解できません まだ習ってないので分かりやすく教えてもらえたら嬉しいです😭

ある、 p.492 基本事項| (イ) 3x=4(mod 5) (ア) x+4=2(mod 6) 指針> (1) 方針は p.493 の■証明と同様。●=■(mod m) のとき,●一 は m の倍数である。 (2) 0 合同式 (イ)「4=●(mod 5) かつ●が3の倍数」となるような数を見つけ, 性質5を適用する。 加法·減法·乗法だけなら普通の数と同じように扱ええ 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk, c-d=ml (k, 1は整数) a=b+mk, c=d+ml の倍数 →=DAk (kは整数) と表され 567) よって a-c=(6+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-1) ゆえに a-c-(6-d)=m(k-1) よって a-c=b-d(mod m) 5 ax=ay (mod m)ならば, ax-ay=mk (kは整数)と表 aとm は互いに素であるから よって x=y(mod m) p, q が互いに素で がqの倍数ならば、a はqの倍数である。 され a(x-y)=mk x-y=ml (Iは整数) x=2-4(mod 6) イ性質 2。移項の要領。 (2)(ア) 与式から -2=4(mod 6)であるから イ-2-4=-6 (6の倍数) また,推移律を利用。 の 1性質5を利用。 x=4(mod 6) 合賞代猫F 3x=9(mod 5) (イ) 4=9(mod5)であるから,与式は 法5と3は互いに素であるから x=3(mod 5) es

この一枚目の合同式の写真なんですが、1個目のパターンだと2枚目の合同式の性質が成立しないんですが、2個目のパターンも存在すると考えていいのでしょうか。皆さんはどう考えていますか？教えていただけると嬉しいです。お願いします。

了 バハ"ター め < 人 ーー

赤四角の【4≡9(mod5)】が分かりません。 4を5でわった余りは9にならないと思うのですが…

WW (①) み492 RE と および次の柱質5 6 を証明せよ。ただ 1 は式数。 z は自然数とする。 。 みとめ が互いに素のとき gr三cy (mod zz) = ニッ (mod が) (⑦) 次の合同式を満たす * を, それぞれの法 において, *三6 (mod zz) [Z は より小さい自然数] の形で表せ(これを 合同方程式を解く ということがある) 。 (⑦ *+4三2 (mod6) 《⑰ 3x寺4 (mod 5) 12革本W ) 指針に (」) 方針は ヵ.493 の 古明) と同様。信三園 (mod ) のとき, @一圏 は : の倍数 である。 (2② 人⑭ 合同式 加法・洲法・乗法だけなら普通の数と同じように扱える ⑰ (mod 5) かつ @ が3 の倍数」となるような数を見つけ, 性質 5 を適用す放 ュー hhriziさーっきゃ mc 内人 でGD(MO70 csの(Med 上 = ーー (⑪) 3 (条人め5, 6ん, で一=が/ (4。 7は昌数) 4 の倍数 と表され 2三2填刀ん, C三の十77/ ーー =4ん (ん は整数) よって gc=(2+太一(2+娘のニ6一d+(%ー/) ゆえに 2一c一(ヵーの)=み(なーの 5 gr邦Zy (mod 77) ならば, ーーz7ん (ん は整数) と表 | 4ヵ 7 が互いに素で され 2(*ーツ=ニカ と は互いに素であるから がの倍数をらば,』 ャーッニケ/ (/ は整数) よって =ッ(mod が) はの倍数である。 (2② ⑦ 与式から *ぇ土2一4(mod6) <性質 2。移項の要領。 4 (mod 6) であるから ェ三4 (mod 6) るー2一4ニー6 (6 の倍 であるから, 与式は %三9(mod5) また 推移律を利用 どいに素であるから 3 (mod 5) る性質 5 を利用。

⑵の（ア）で、「x≡2-4(mod6) -2≡4(mod6)」の式が分かりません。 ①x≡2-4(mod6)がどこからきたのか ②なぜx≡2-4(mod6)ならばx≡4(mod6)なのか 教えていただきたいです。

494 Sm 1 21 。生同の任質の証明と利用 e』 (1) 492 基本事項の合同式の性質 2。 およ び次の性質 5 を証明せよ。 7578M5 72 0 (2) 次の合同式を満たす* を, 記しでれのお の.にち ぉいて, *三6 (mod zz) [Z は より小さい自然数] の形で表せ(これを 合同方程式を解く ということがある) 」 ⑦ *チ4三2 (mod6) (? 34 (mod 5) 4天頂 指針|に (!) 方針は か.493 の (刀 と同様。@三園 (mod 7x) のとき, @一國 は zz の倍数 であぁ| ⑫ 人ぐ 合同式 加法・ ・乗法だけなら普通の数と同じように扱える ⑰ (mod 5) かつ@ が3 の倍数」となるような数を見つけ, 性質 5 を適用す記 用竹下 人4) C=O (MA 1 5)。。。請 Q⑪。タ 条他めら, 一の三ガん,。 で一ヴー72/ (0 7は幣数) る4 の倍数 と表され =の2寺刀んん で三の寺が/ 一 =Aん (4は整数) よって gc=(2二太め)一(7十が)ニ5ーの寺み(んー/ ゆえに 2一。 ゥーの)三(たーの よって 一c財の一の(mod が) の三Zy (mod 必) ならば, ox一のツーん (ん は整数) と表 | 4ヵ。 が互いに素で され (テーリツニん CC つろ 7 は互いに がg の倍数ならば た ァーッーカ/ (/ は整数) ” よって %計う(m6dめ) はの倍数である。 (2) の 与式から x寺2一4 (mod6) 人性質 2。移項の要領。 ー24 (mod 6) であるから ェ三4 (mod 6) るー2一4ニー6 (6 の倍数) 《⑰ 4王9 (mod 5) であるから, 与式は 3x三9(mod5) また, 推移律を利用 法5 と3は互いに素であるから *二3 (mod 5) 3性質 5 を利用。