自然対数の定数が何になっても導関数は1/xになるのは何故か（(logx)'=1/x）を図で説明しなさいと問われたのですが、y=e^xとy=logxの接線をどのように求めてグラフに描けばいいか分かりません。教えてください。

関数 y=exについて (eは2.71とする) [4.46 ,42 x100.51 1,512 2.5 11.64 2.71 4.46 5.42 5.42 44 271 g=ex g-x 05----- y'=ex すなわち y=y また、関数 y=exの逆関数は x=ed すなわち y= logex 00.51.52 2.71 446 5.42 1,64 関数 y= logexは逆関数なので関数y=exを45℃の直線に対して対称 y=ex上の点(L2.71)における接線の傾きは y = log ex

(3)が分かりません もし良ければ解説込みで教えて下さい

模試 微分法 関数f(x)=x-2/23bx-3ax+αがあり,∫(-1)=0を満たしている。ただし、a.bは定数 で,α>-1とする。 (1) f'(x) を求めよ。 また, bをα を用いて表せ。 (2) f(x) の極大値, 極小値をそれぞれαを用いて表せ。 (3)x>1の範囲において, f(x) = 0 となるような実数xが1個だけ存在するときのとり る値の範囲を求めよ。

(1)から(3)までの解き方を教えてください🙏

数学Ⅱ 【微分法・積分法】 総合問題 関数 f(x) = 2x2 + 4x-1について, 次の問いに答えよ。 (1)xの値が αから6まで変化するときの平均変化率を求めよ。 (2)xにおける微分係数を, 定義に従って求めよ。 (3) (1) の平均変化率と (2) の微分係数が等しいとき, pをaとbで表せ。

微分についての質問です。一枚目の写真で青マーカーを引いたところには、「三次不等式はグラフを利用して求める。極値を求める必要はない。」とありますが、例題212.213では極値を出して解いている気がします。 ・なぜ例題212.213では極値を出して、例題216では極値を出して... 続きを読む

2 406 第6章 微分法改 練習 [216] **** 7956 く 50 785 2210 196 例題 216 三角不等式 **** cos 30 + cos 20+ cos >0 を満たす0の値の範囲を求めよ.ただし, 0≦02 考え方 解答 とする. 例題 212(p.402) と同様にして3次関数のグラフとx軸の位置関係を考える. まず cosa=t とおき,tの3次不等式を作る cost とおくと,002πより、 また, cos30=4cos0-3cos0=4t-3t cos 20=2 cos 0-1=2t2-1 4t3+2t-2t-1>0 したがって, 与式は, (4t-3t) + (2-1) +t>0 2t2(2t+1)-(2t+1)>0 (2t+1)(2-1)>0 ...... ② (2t+1)(2-1)= 0 とすると, tの値の範囲に注意 与式の左辺を cosで 統一する。そのとき 倍角,2倍角の公式を 利用する. ((p.269 参照) 組み合わせを考えて, 因数分解する。 [解] Commen ここ こで, 2 線が一致 200 とし, 線をも この √2 1 1 t=- 0 2' √2 2 y=4t+2t-2t-1 のグラフは, 右の図のようになる. したがって、②の解は、 ①より RD 3次不等式はグラフを 利用して考える. 極値 を求める必要はない。 30 1 <t≦1 √2 2√2 よって,t=cos 0,0≦02 より 0≤0< 単位円を利用して8の 範囲を求める. て π 第3,4象限の解と第2, 2 3 147 4 1 √2- 1象限の解は,それぞ 例 0 5 << 27 << れx軸に関して対称 10 1 x 43 7 3π 1 4π 注〉和積の公式を用いて次のように解くこともできる. (p.274 参照) ( cos30 + cos 0) + cos20>0 2 cos 20 cos 0+ cos 20>0 cos 20 (2 cos 0+1)>0 (2cos'0-1)(2cos0+1)>0 ここで, cosa=t とおくと, cosA+ cosB=2cos- A+B A-B COS 2 2 (2t2-1)(2t+1)>0 あとは、例題216と同様にして解けばよい. tan 20 + tan00 を満たす 0 の値の範囲を求めよ。ただし,0≦02 とする. 次

矢印以下のグラフの書き方が分からないです😭 CとDの両方のグラフの書き方を教えて頂きたいです😭😭

•5 最大・最小を候補で求める a>0 とする.f(x)=x(x-3a)(0≦x≦1)の最大値をαの関数とみてg (a) とおく. (1) g (a) を求め, ab平面にb=g(α) のグラフの概形を描け. (2) g(α)の最小値とそれを与えるαの値を求めよ. 最大・最小の候補を比較 閉区間 (a≦x≦βの形の区間)で定義された関 数 f(x) の最大値・最小値は '区間の端点での値'または'極値”のいずれか である.極値を与えるxの値が定数αの入った式である場合, 式だけで最大最 小を考えるよりも,先に最大値(最小値)の候補となる値('区間の端点での値' と‘極値')のグラフを描いてしまい,それらを比べる方が見通しがよい. 解答言 (1) f(x)=x(x-3a)2=x3-6ax2+9ax f'(x) =3x2-12ax+9a²=3(xa)(x-3a) 図1 y=f(x) 4a3 f(a)=4a3, f(3α)=0であり,a>0より y=f(x)のグラフは図1のようになる. 84 (関大 総合情報) 極 値 区間の端点での値 [極大値を与えるx=αが0≦x≦1に入っている かどうかで場合分け] O a 3a 積の微分法 {g(x)(x)}' =g(x)h(x)+g(x)h'(x) を使うと, f'(x) =1(x-3a)+x2(x-3a) 図 2 =(x-3a){(x-3α)+2x} 0≦a≦1のとき YA YA =3(x-3a)(x-a) 最大値はf(a)(=4α) f(1)(=(1-3a)2) 15 C の大きい方 (図2). a 1 セットで a 1 1≦a のとき 図3 最大値はf(1)(=(1-3a)) (図3) YA ここで チェリュー(エリー(エ)ギュー(仮) C: b=4a³ (0≤a≤1) D: b= (1-3a)2 のグラフを描く. .. . (4α-1) (a-1)2=0 0<a<1での, C, D の交点を求めると 4a=(1-3α) 2 4a3-9a2+6a-1=0 O X A la 図 4 b₁ 4 (い C:b=4a3 より (1/4,1/16) b=g(α) のグラフは,図4の太線部であり, 1/4≦a≦1 g(a)=(41-3a)²/ <a≤1/4, 1≤a 19 D: 1 16 b=(1-3a)2 16 この式は,f (a) = f (1) を変形 したものであるからα=1が解で あり, (a-1)で割り切れる. O 11 43 ←C,D のうち, 高い方をたどった ものがb=g(a) のグラフ. 1 (2)図4より,a= 4 のとき,最小値9 (12) (1/4) 1/16 をとる。 =

高次方程式に関して、紫で囲ったところについての質問です。まず、各項とも3次以上であると書かれているのですが、項は一つしかないと思います。どれらの項のことを各項と言っているのですか？また2次以下の項の係数を比較してとあるのですが、三次以上の項を無視できるのは、②の式がt(x)... 続きを読む

116 第2章 高次方程式 Think 例題 54 剰余の定理(2) [考え方 解答 **** (1)nを3以上の自然数とする.x" -1 を (x-1)3で割ったときの余り を求めよ. (2)x2+x15 +1 を x+1で割ったときの余りを求めよ. (1)x1=(x-1) Q(x)+ax²+bx+c このままでは何もできないので,x-1 が式変形でき ないか考える(x-1) に着目して, x-1 =t とおく x1 =t とおくと, 二項定理が利用できる. (二項定理については, p.21参照) (2)x=iで x2+1=0 となる. 実数係数の多項式の割り算での余りは実数係数の多 式である。 (1)3次式(x-1)で割ったときの商をQ(x) とすると,余りは 2次以下の多項式であるから、余りはax+bx+c とおける よって、 (t+1)-1=fQ(t+1)+α(t+1)+6(t+1)+c ...... ② 3次式で割るの で、余りは2次 以下の多項 解 Comme 1の の解で つまり この とす x-1 =t とおくと, x=t+1 より ①は, x-1=(x-1)2Q(x)+ax²+bx+c ②の左辺に二項定理を利用すると, (左辺)=,Cat+mCt' "Cat+„Caf'+nCit+"Co-1 =,Cat*+,C, "'++,Cf+n(n-1)t 2+nt ③ 2 C22 C=n n(n-1) n Co=1 また、②の(右辺)=Q(++1)+of+ (2a+b)t+a+b+c 多項式・Q(t+1)は各項とも3次以上である. ③④の2次以下の項の係数を比較して, ④4) とな a n(n-1) a= 2a+b=n,a+b+c=0 2 これらから a=- _n(n-1) b=-(n-2n),c=- n2-3n 余りは2次以 なので2次以下 の項のみに着目 する。 れる d 2 2 練習 よって, 求める余りは, n(n-1)x-(n²-2n)x+ 2 n²-3n 2 (2)2次式x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとおく . x2 + x15+1=(x2+1)Q(x)+ax + b(a,bは実数) が成り立つ. これは恒等式であるから,両辺に x=i を代入すると, 1+1+1=(i+1)Q(i) + ai + b ... ① i=-1,=(i) =1, i=(i).i=-i より ① は, 2-i=b+ai となる. a b は実数であるから, よって、求める余りは, 注)微分法(第6章) を学習すると *** (6) *****, 54 **** a=-1,b=2 x+2 余りは1次以下 の多項式 =√-1 複素数の相等よ り 辺を微分した式も恒等式であることから,a,b,cの値を容易に求められる. xの恒等式 x-1=(x-1)Q(x)+ax²+bx+cの両 (1)を2以上の自然数とする.x" を (x-2)2で割ったときの余りを求めよ。 (2)2x'+x+1 を (x+1)(x-1)で割ったときの余りを求めよ. を

158の問題文の意味がわからないです、(2)(3)の解き方かたを教えてください。

dy=0 x2+2x+y2=1の両辺をxで微分すると 2x+2+2y.dx 34 方程式 x2+2x+1 よ。 解答 よって, y≠0 のとき dy=-x+1 dx y A 157 次の方程式で定められるxの関数yについて, dy を求めよ。 例題 34 dx (1) y2=16x *(2) 4x2+y2=1 x2y2 (3) = 1 *(4) xy=1 4 9 ☑ 3章 微分法 158xの関数y, tを媒介変数として、次の式で表されるとき, 数として表せ。 (1) x=t-2, y=2t2 x=2cost, y=5sint dy をtの関 dx *(2) x=f2-t+1,y=ピ-t-1 (4) x=sin2t,y=cost B 159 次の方程式で定められるxの関数」について, dy を求めよ。 dx *(1) (y+1)2=x2+x (2)x2-xy-y2=1 (3)x+y-3xy=0 (4)x+y=1 □ 160 x の関数yが, tを媒介変数として、 次の式で表されるとき, 数として表せ。 tの関 dx (1) x=√1-t2, y=t2+1 1-12 2t *(2) x=- 1+tz, y=1+12 (3) 2 x=- y=3tant cost' *(4) x=cos't, y=2sint

証明の解説の意味がわかりません。分かりやすく教えてください🙇‍♀️

dlog|x| 1 例 5.1.16. = である. dx X 証明 x > 0 ならばy=logxはx=ev (0) の逆関数なので、 逆関数の微分法より なし dlog x 1 1 = = = dx (ey)' ey X 次に, x < 0 ならばlog|x|=log(-π) だから, u=-x とおけば合成関数の微分法より A d log(-x) dlog u du 1 = = ==. dx du dx u X

この問題の セソタチ について質問です！ 答えが2ページ目のようになるのは何故でしょうか、？ どのような図になるのか全く想像できないので、図などで解説して頂けると幸いですm(_ _)m

1をCとする。 1である。 step2 速効を使って問題を解く アプローチ を正の実数とし、座標平面上に点P(1, k) をとる。 また, 放物線y=- める ア (1)点(11/21)に におけるCの接線の方程式はイ また,点 (1,212-1)を通り、接線に垂直な直線の方程式は [オ I ty=t である。直線 mが点Pを通るようなtの値の個数を求めよう。 直線が点Pを通るとき, tは方程式 オ t カ kt-キ |= 0 を満たす。 この方程式の左辺を f(t) と表すとき、関数 f(t) は ク コ V t=- のとき,極大値 -k√k-z ケ シ V クk コ サ t = このとき、極小値 -kvk- ス ケ f シ をとる。これより,直線が点P を通るようなtの値の個数について セ セ 0<k< 個 くんのときチ個 ソ ソ であることがわかる。