この計算方法がわかりません。 細かい計算式を教えてもらえると嬉しいです

J11 dx So

丸囲み部分でx→1-0ってx→1+0でもいいんですか？教えて下さい！

Example 15 ★★★★★ [ax'+ bx-2 (x21) lx+(1-a)x (x<1) と定める。f(x)がx31 で微 関数 (x)をf(x)= 【芝浦工大) 分可能となるようなa, bの値を求めよ。 解答 f(x)がx=1 で微分可能であるとき,f(x)は x=1| key で連続であるから/lim f(x)=f() f(x)が x=aで 微分可能ならば,f(x) fein をじ追れたときに。 furに1タ代んしたEべと 挙しくなう。 x→1-0 1+(1-a)=a+b-2 f(a+h)-f(a) よって lim ゆえに 2a+b=4 h h→+0 0f(a+h)- f(a) = lim のから lim h h h→+0 h→-0 =lim h h→+0 2ah+ah?+bh =lim h 今子を る。 h→+0 = lim (2a+ah+b)=2a+b=4 h→+0 また lim h→-0 h =lim h→-0 h (5-2a)h+(4-a)h°+h° = lim h→-0 h = lim {5-2a+(4-a)h+h?}=5-2a h→-0 よって,f(1) が存在するための条件は 4=5-2a ゆえに a=; このとき, ①から b=3 このとき,①から 633 答 2

丸囲み部分でx→1-0ってx→1+0でもいいんですか？教えて下さい！

Example 15 ★★★★★ [ax'+ bx-2 (x21) lx+(1-a)x (x<1) と定める。f(x)がx31 で微 関数 (x)をf(x)= 【芝浦工大) 分可能となるようなa, bの値を求めよ。 解答 f(x)がx=1 で微分可能であるとき,f(x)は x=1| key で連続であるから/lim f(x)=f() f(x)が x=aで 微分可能ならば,f(x) fein をじ追れたときに。 furに1タ代んしたEべと 挙しくなう。 x→1-0 1+(1-a)=a+b-2 f(a+h)-f(a) よって lim ゆえに 2a+b=4 h h→+0 0f(a+h)- f(a) = lim のから lim h h h→+0 h→-0 =lim h h→+0 2ah+ah?+bh =lim h 今子を る。 h→+0 = lim (2a+ah+b)=2a+b=4 h→+0 また lim h→-0 h =lim h→-0 h (5-2a)h+(4-a)h°+h° = lim h→-0 h = lim {5-2a+(4-a)h+h?}=5-2a h→-0 よって,f(1) が存在するための条件は 4=5-2a ゆえに a=; このとき, ①から b=3 このとき,①から 633 答 2

丸囲み部分がよく分からないので教えて下さい！

(2) 上で定めた関数 f(x) がすべてのxについて連続であるように, a, bの Example 14 *★★★★ 68 ,2n_x2n-1+ax2+ bx x2n+1 x21- (1) f(x)=Dlim を求めよ。 (2) 上で定めた関数 f(x) がすべてのxについて連続であるように .. (01 公立はこだて未来大) n→0 値を定めよ。 69 解答 (1) [1] |c|<1 のとき limx"=0 であるから n→0 f(x)=ax°+ bx mil a-b+2 [2] x=-1 のとき f(-1)=" 2 13」 x=1 のとき f(1)=a+6 2 [4] ||>1 のとき 0-6)m mil 7 1- 品 key 各項の等比数列が 収束するように,分母 分子をx2n で割る。 a 6 -2n-2 x f(x)=lim 1 1+ =1ー x n→ 0 (2) f(x)が x=-1 で連続となるための条件は lim f(x)= lim f(x)=f(-1) key f(x)が x=p で x→-1-0 →-1+0 連続 よって(2=aー6=DQ-b+2 2 lim f(x) x→p-0 f(x) が x=1 で連続となるための条件は lim f(x)= lim f(x)= f(1) - lim f(x)=f(か) 三 x→p+0 Support f(x)が x→1-0 x→1+0 よって a+b=0=Q+6 2 x=-1, x=1 で連続と なるように,a, bの値を 0, 2 から a=1, b=-1 答 - DA 0 定める。 0

増減表の微分したものの符号で、 e^3を代入して−3/e^6 eを代入して1/e^2、 1/eを代入て2e^2、 となってプラスマイナスが逆になってしまったんですけど、どうすれば問題と同じ符号が出せるのか教えていただきたいです！

|aを定数とする。方程式 (logx)°=Dax (x>0) について異なる実数解の個数 20 方程式への応用 (x)1 Example 20 ★★★★* aを定数とする。方程式 (log.x)*=ax (x>0) について異なる実数解の個数 (logx)-0 を用いよ。 [類 07 熊本大) を調べよ。必要なら, lim x x→0 (494こRのなるの畑 maw (10gx)-a 解答 x>0 のとき(logx)?=ax → x f(x)= (logx) とおくと f(x)= (2-logx)logx x F(x)=0 とすると 1ogx=0, 2 キ>0 におけるf(x) の増減表は次のようになる。 ゆえに x=1, e? x 0 1 e? f(x) EA (092(24ex f(x) 4 |0|2 e? また lim f(x)=8, limf(x)=0 x→+0へ 9Hy=f() x→ 0 よって,x>0 のとき y=f(x) のグラフは右の図のようになる。 与えられた方程式の異なる実数解の個 数は,曲線 y=f(x) と直線 y=a の共有点の個数に一致するから y=a 11 e? x| key 方程式 f(x)=a の異なる実数解の個数は, ソ=f(x)のグラフと直線 a<0 のとき0個; a=0, くaのとき1個: a=ニ のとき2個: 0<a<←のとき3個 答 ソ=a の共有点の個数に 一致する。 0

⑴の場合分けのやり方がわからないです！教えて下さい！

14 関数の連続 Example 14 *★★★★ x21ーx2n-1+ax?+bx x2n+1 を求めよ。 (1) f(x)=Dlim (2) 上で定めた関数子(x) がすべてのxについて連続であるように, a, baの [01 公立はこだて未来大) n→0 値を定めよ。 解答(1) [1] |c|<1 のとき limx"=0 であるから n→0 f(x)=ax°+ bx [2] x=-1 のとき f(-1)=α-6+2 2 13] x=1 のとき f(1)=α+6 [4] |||>1 のとき 20 2 key 各項の等比数列が 収束するように,分母 分子をx2n で割る。 1 1 x a b x2n-1 1 1+ f(x)=lim x2n-2 =1-ニ に n→ 0 コ x (2) f(x) が x=-1 で連続となるための条件は lim f(x)= lim f(x)= f(-1) key f(x)がx=pで x→-1-0 x→-1+0 連続 よって 2=a-6=4-6+2 2 lim f(x) の f(x)が x=1 で連続となるための条件は lim f(x)= lim f(x)= f(1) x→p-0 - lim f(x)= f(p) 三 x→p+0 Support f(x)が x→1-0 x→1+0 a+b x=-1, x=1 で連続と なるように,a, bの値を 定める。 よって a+b=0=- 2 0, 2 から a=1, b=-1 答

下波線部でどうして−(x +5)をしているのかわからないです！教えて下さい！

18 関数の値の変化 Example 18 ★★★★★ について,増減やグラフの凹凸などを調べ [00 信州大) 関数 f(x)= x ソ=f(x) のグラフをかけ。 key グラフをかくポイ 解答 f(x)の定義域は xキ0 である。 x+5x+4 ント。 F(x)=- =x+5+ x であるから 0 定義域 x fl(x)=1 +2)(x-2), f"(x)=D& f(x)=1- x? 4 8 対称性 x? x2 x 座標軸との共有点 よって,f(x) の増滅とグラフの凹凸は, 次の表のようになる。 ④ 関数の増減,極大 04 ⑤ 曲線の凹凸, 変曲点 不連続点,極限 ⑦ 漸近線 x -2 0 極小 0 + へ 大きんにん(x)。 また 大きしなるにつとと 極大 極小 li(x)=-0, lipm{(x)=8 体をがそき作をにつれし 90°追がく エ-0 北や+0 さらに limf(x)-(x+5)=lim-%=0, 90°(返べく 4 fa1(を)② オ o 2イイス→0n x→0 X limf(x)-(x+5)}= lim w x→18 X X→F。 fe1 (1ゼれをくななに よって,y軸と直線 y=x+5 は漸 。う210 近線である。 したがって, y=f(x) のグラフは 右の図のようになる。 答 A 5 -4 1 -202 9 2

二次曲線の式の微分がわからないです！教えて下さい！

|2次曲線 +=1 (a>0, b>0) と xy=k (k>0) が第1象限に共有点 をもち, その点における2つの曲線の接線が一致するとき, k およびその共有 17 接線·法線 83 Example 17 ★★★★★ 2 x y? 2次曲線 a? をもち,その点における2つの曲線の接線が一致するとき, kおよびその女方 点の座標(x1, y) をa, bを用いて表せ。 29 [01 大阪市大) eメ x ァ=1 の両辺をxで微分すると 2x key 2曲線が共有点を もち,その点における接 線が一致する(2曲線が 解答 よって-- dy dx 6°x a'y 2y(dy F0 ニー a 6°dx dy 接する)条件は、 -3D- xy=k の両辺を微分すると y+x 共有点がどちらの曲線上 dx dy にもあり、 よって dx 共有点における接線の傾 きが等しい ことである。 x 共有点(x1, y)において接線の傾きが一致するから 6°x1 a'y 2 ゆえに = これと+-1から ー 2 X1 6? 2 2 2 1 y 2 1 D 2' 62 2 a>0, b>0, Xi>0, yu>0 であるから カー 6 ュ= a x;=。 また, x1=k から k=- b a ab |2 12 2D し たがって a=. (x, y)=( リー a 2 aes 0

微分した式のグラフからプラスマイナスの求め方が分からないです

aを定数とする。方程式 (log.x)"=ax (x>0) について異なる実数解の伝 -=0 を用いよ。 Example 20 ★★★★★ 人類の ( 【類 07 熊本大) (logx)? x を調べよ。必要なら, lim オ→ 0 (4764=aのなる、の畑数 ar (logx) 50 解答x>0 のどき(logx)?=ax x (2-1ogx)logx x? S(x)= (logx) P(x)=0 とすると logx=0, 2 キ>0 における f(x) の増減表は次のようになる。 とおくと f(x)= X ゆえに x=1, e? x 0 1 e? 2 Tロ p f(x) 6A (092(216x 0[+) 0 f(x) 4 0|2 また limf(x)=8, limf(x)=0 x→+0 ツHソ=f(x) X→ 0 よって,x>0 のとき y=f(x) のグラフは右の図のようになる。 与えられた方程式の異なる実数解の個 数は、曲線 y=f(x) と直線 y=a の共有点の個数に一致するから 4 e? ソ=a 0| 1 e2 x|| key 方程式 f(x)=a の異なる実数解の個数は, ソ=f(x)のグラフと直線 ソ=a の共有点の個数に 一致する。 a<0 のとき0個; a=0, 言くaのとき1個: a=ニ ニのとき3個 答 4 のとき2個: 0<a< e?

波線①のところで、定数と仮定するとなんで0になるのかが分からないです教えて下さい！

16 高次導関数 Example 16 ★★★★★ xの多項式で表された関数 f(x) が xf"(x)+(1-x)f(x)+3f(x)=0, f(0)=1 を満たす。 (1) f(x) の次数を求めよ。 (2) f(x)を求めよ。 (神戸大) l co12 解答(1) f(x) が定数関数であると仮定すると、第1式から key f(x) の最高次の f(x)=0, となり, f(0)=1 と矛盾。 項を ax"(aキ0)とおき、 xf"(x)+(1-x)f(x) M よって,f(x) は定数関数ではない。 f(x)の最高次の項を ax" (n21, aキ0) とすると, f(x)の +3f(x) の最高次の項 最高次の項は nax"-1 であるから, xf"(x)+(1-x)f(x)+3f(x) の最高次の項は -nax"+3ax" となり (ーn+3)a=。 に注目する。 答 3次 aキ0 であるから n=3 (2) (1) および f(0)=1 から, key (1) から, f(x) の 係数を定める。恒等式の f(x)=ax°+ bx?+cx+1 (aキ0) とおける。 f(x)=3ax°+2bx+c, f"(x)=6ax+26 これらを与式に代入して整理すると (9a+b)x?+(4b+2c)x+c+3=0 これがxについての恒等式であるから 9a+b=0, 46+2c=0, c+3=0 問題に帰着。 -る-3 2' これを解いて 1 c=-3(aキ0 を満たす) =D したがって f(x)=-- 1 +-3x+1 答 3