定数関数 f(x) = 0 は① を満たさないから, yキ0 としてよい。
練習 296 すべての実数 x について, 次の等式を満たす関数S(x) を求めよ。
(Cは任意定数)
n.Je
(2) xf(x) = 3|f()dt
-1
|「() sint dt + 1
f(t)sint dt +1…① とおく。
のの両辺をxで微分すると
S'(x) = f(x)sinx
y= f(x)とすると
dy
= ysinx
dx
三
f(0) = 1 より f(x) = 0
は与式を満たさない。
1 dy
dx
= sinx の両辺をxで積分すると
y
dy
sinx dx
三
y
よって
logly| =
CoSx + C
これより
ここで、C=土e°1 とすると
また,①に x=0 を代入すると f(0) =1 であるから,
1= Ce coso
y= ±e°'e
-COS x
y= Ce-co
-COS x
(Cキ0)
15)dt=D0
より C=e
cos0
= 1
したがって,求める関数f(x) は
f(x) = e
1f(x) = e·e
-coS.x でもよ
1-cos.x
x
い。
(2) xf(x) = 3|S()dt-1 …① とおく。
のの両辺をxで微分すると
f(x) + xf°(x) = 3f(x) より
(xf(x))
= (x)'f(x) + x{f(x)}
f(x) +xf°(x)
xf"(x) = 2f(x)
dy
= 2y
dx
d
F()dt = f(x)
三
x
y= f(x)とすると
dx
定数関数 f(x)=0 は① を満たさないから, xy キ0 としてよい。
f (1) = -1 より,
f(x) = 0 は与式を満た
さない。
1. dy
dx
2
の両辺をxで積分すると
x
y
dy
dx
= 2
log|y| = 2log|x一+C
y= ±e°'x
よって
これより
ここで, C= 土e° とすると
ly|= eloe x+c
= e°'eloex? - e)
y= Cx° (Cキ 0)
SOdt = 0
