10
対
明す
形
変
$300<8.0<A =
abk2+bck2+cak2
(ab+bc+ca)k2
ab + bc+ca
ab+bc+ca
x² + y² + z ²
xy+yz+zx
したがって
a² +6² +c²
2
ab+bc+ca
222ab+bc+ca)=abc,a+b+c=2のとき, a,b,cのうち少な
くとも1つは2であることを示せ。
解答 (a−2)(b-2)(c-2)
={ab-2(a+b) +4}(c-2)
=abc-2ab-2(a+b)c +4(a+b) +4c-8
=abc-2(ab+bc+ca) +4(a+b+c) - 8
=abc-abc+4.2-8
よって
-2=0 または 6-2=0 または c-2=0
したがって, b,cのうち少なくとも1つは2である。
23 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなど
きか。 ただし, a > 0, b>0とする。
(1) 4(3+63)≧(a+b)3
(2) x2+5x+7 > 0
(3) x2-2xy+5y2+2x+2y+2≧0
4a3+63)-(a+b)3=4(a+b)(a²−ab+b2)−(a+b)3
=(a+b){4(a²−ab+b2)=(a+b)2}
=(a+b){4a²-4ab + 46²- (a²+2ab +62)}
2)
12
2
21
解答 (1)
=
=k2
x,y,zのうち少なく
とも1つはん
(x-k) (y-k) (z-k)=0
← 条件式
2(ab+bc+ca)=abc,
a+b+c=2
を代入。
■A>Bの証明
A-B>0を示すのが基本
Az m
kk
