基本 例題45
集合の包含関係
「以上100 以下の整数全体の集合 びを全体集合として考える。
A={x|x は整数の平方, xEU}, B={x|x は偶数, xEU},
C={x|xは4の倍数, xEU}とするとき,CCAUBであることを示せ。
n
aUA[類京都産大] p.77 基本 項 5. 3
指針> AUBの要素を書き出そうとすると,かなり面倒。そこで, 次の(D, (2) を利用する。
ド·モルガンの法則 AUB=ANB
p.77 解説の(*)
PCQ→PつQ
2 -Cとコ に注意。
のから
CつANB
間の
のから
よって
CCAUB
CCANB
したがって,CUANB を導くことを考える。
※合業
解答
A={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100} のの回の
ANBは, Aの要素のうち偶数であるものだけを選んで
奇数の平方は奇数であるか
ら,ANBは偶数(2n)の
平方全体の集合である。
ANB={4, 16, 36, 64, 100}
よって
ANBの要素はすべて4の倍数であるから
CつANB
CCANB
ANB={4n°\nハ5, nEU}
4,81
よって
ド·モルガンの法則により, ANB=AUBが成り立つから
CCAUB