6 右の図のように、正三
角形 ABCの辺BC上に点
Pをとり、 正三角形 AQP
をつくる。 また, 2点C,
Qを結び, 線分 CQ と辺
B
AB との交点をRとする。 次の問いに答えなさい。
(1) △APC≡△AQB であることを証明しなさい。
(1)〔証明〕
(2) BP:PC=3:4のとき, △ARCの面積は△BRQ
の面積の何倍かを求めなさい。
△ARCと△BRQ で,
∠CAR = ∠PCA, ∠QBR = ∠PCA だから, ∠CAR=∠QBR
また, ∠ARC=∠BRQ
2組の角がそれぞれ等しいから, AARCABRQ
相似比は, AC:BQ=BC:CP=(3+4) :47:4
面積の比は, 72:42=49:16 だから, ARCの面積は BRQ の面積の
△APCと△AQBで
AC = AB・・・①
AP AQ・・・ ②
∠CAP=60°∠BAP
∠BAQ=60°- ∠BAP
よって,∠CAP=∠BAQ...
③
①,②,③から、2組の辺とその
間の角がそれぞれ等しいので、
△APC≡△AQB
(2)
倍である。
(7点×2)
49
・倍
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