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基礎問
WINDOW
128 和と一般項
数列{an} の初項から第n項までの和 Sn が
で表されている.
Sn=-6+2n-an (n≧1)
(1) 初項 α1 を求めよ.
(2) am と an+1 のみたす関係式を求めよ.
(3) an をnで表せ
数列{an} があって
精講
an=
?
n = 1 ½ an-1+1 (n≥2)
よって, an+1=
=an+1 (n≧1)
食
197
PROMOSI
(別解) ①より, Sn+1=-6+2(n+1)-an+1 ......
②
②① より,
+1 Sn=2-an+1+an
.. an+1=2-an++an
1
:
an+1=an+1
2=1/12 (42)
a = 1/24+1の解
=1/12an+1よりan+1-2=
(3) an+1=
また, a2= -4 だから
1\n-1
第7章
a+a2+…+an=Sn
とおいたとき, an と Sn がまざった漸化式がでてくることがありま
す。 このときには次の2つの方針があります。
I.an の漸化式にして, annで表す
Ⅱ. S の漸化式にして, Sn を nで表し, an をnで表す
このとき,III どちらの場合でも次の公式が使われます。
n≧2 のとき, an=SnSn-1, a1=S1
(n=1のときが別扱いになっている点に注意)
解答
Sn=-6+2n-an (n ≧1) ...... ①
(1) ① に n=1 を代入して,
Sanまでの
1和だから
supaほどの和
ということだが
S=-6+2-a
_a=S, だから, a=-6+2-a1, 2a=-4
m
珍しい
a₁=-2
(2) n≧2 のとき, ①より,
Sn-1=-6+2(n-1)-αn-1
:.Sn-1=2n-8-α ...... ②
①-②より,
Sn-Sn-1=2-an+an-1
:.an=2-an+an-1
an-2-(-4)()
|
4
an-2-2-1
2-12-
α=2を利用し
an+1-α=-
1
2-3
と変形
●ポイント(すなわち,和) のからんだ漸化式から記号を消
したいとき,番号をずらしてひけばよい
注 ポイントに書いてあることは,に書いてある公式を日本語で表した
ものです.このような表現にしたのは、 実際の入試問題はの公式の形
で出題されないことがあるからです。 (演習問題 128 (2))
士)の子
演習問題 128
Sn-Sn--an
(74) 53-52=03
(1) 数列{a} の初項から第n項までの和 S が次の条件をみたす.
S1=1, Sn+1-3S=n+1 (n≧1)
(i) S を求めよ. (ii) a を求めよ.
(2) a1=1,2kan=nan(n≧1) をみたす数列{az} について,次
の問いに答えよ.
(i) anan-1 (n≥2) T. (ii) a を求めよ.
