115 素因数の個数
基本 例題 115
(1) 20! を計算した結果は, 2で何回割り切れるか。
(2) 25! を計算すると, 末尾には 0 が連続して何個並ぶか。 [類 法政大 ]
13
第1章でも学習したが, 1からnまでの自然数の積1・2・3···.... (n-1) n をnの階乗と
ger+p'as (1) AT
いい, n! で表す。
(1) 1×2×3×･･････×20の中に素因数2が何個含まれるか, ということがポイント。
25 32 > 20 であるから, 2, 22, 23 24の倍数の個数を考える。
(2) 25! に 10 が何個含まれるか, ということがわかればよい。 ここで, 10=2×5 であるが,
25! には素因数2の方が素因数5より多く含まれる。
したがって, 末尾に並ぶ0の個数は, 素因数5 の個数に一致する。
CHART 末尾に連続して並ぶ 0の個数 素因数5の個数がポイント
Sapon
で
解答
(1) 20! が 2で割り切れる回数は, 20! を素因数分解したときの
素因数2の個数に一致する。
1から 20 までの自然数のうち,
2の倍数の個数は20を2で割った商
についていく
10
といわ
22の倍数の個数は, 20 を2で割った
ったとき
商で
5
About
to...
2° の倍数の個数は20を2で割った
商で
SOBOTE 08 249 250
22:
23:
24:
基本109
2:00
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
30121
素因数2は2の倍数だけが
もつ。
483
○･･･10個
〇･･･ 5個
2個
1個
ani
4章
2
2の倍数の個数は20を24で割った商で
注意 1からnまでの整数の
うち
の倍数の個数は,n
20<25 であるから,2"(n≧5の倍数はない。々で割った商に等しい(n.
よって,素因数2の個数は、全部で 10+5+2+1=18(個)
したがって 20! は2で18回割り切れる。
は自然数
25! を素因数
17
約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
の
