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実践問題 038 接線
(土)
f(x)=3
であるから,y=
(P-4t)にお
y=(3t-
y=(3+2.
これが点 (1,
3次関数y=f(x)=x4zに対して、 次の問いに答えよ。
(1) (1,4) から曲線y=f(x)に引いた接線のうち, 傾きが正の値となる
よるものの方程式を求めよ。
(早稲田大)
(2)(1)で求めた接線と曲線y=f(x)との共有点のうち、接点以外の点の座標を求めよ。
[GOAL =HOW WHY ] ひらめき
(1)f(1)=-3より, 点 (1,4) はy=f(x) 上の点ではありません。 通る点が
(1, -4) とわかっているので接線の方程式は,傾きをとおくと,
y-(-4)=m(x-1)
と表せますね。
YA
y=f(x)
2
2 (2t-
この接線がy=f(x) に接する条件から,
m の値を求めることもできます。
もし、f(x) が2次関数であれば、
接する条件は、連立した方程式の
(判別式) =0になる!
しかし, f(x) が3次関数の場合は、接する条件が少々難しくなりますし、
(t,f(t))
f(x)がェの多項式でなくなった場合は,この方法ではできません。 接線がからむ問題は,基本的に
接点をおくことから始める
ことをおすすめします!
より, t
y
(2) y=f(
GOAL
HOW
? WHY
点 (1-4) から曲線
y=f(x) に引いた接
線のうち, 傾きが正
の接線の方程式が求
まる
点 (t, f(t)) におけ
る接線
×
y-f(t)=f(t)(x-t)
tの値が求まれば, 求める接線がわかるか
ら
が点 (1-4) を通る
ときのtの値を求め
る
より
点 (1,4)を通るときは, 「x = 1, y=-4 を代入して 「=」が成り立つ」ときですね!
(2)(1) で求めた接線の方程式をy=g(x) とすると,y=g(x) とy=f(x) の共有点の座標は,y=g(x) と
y=f(x) を連立してy を消去した方程式f(x)=g(x) を解くことで,求めることができます。 共有点の
座標が求まったら, (1) で求めた接点以外が求める座標となります。
参考
GOAL
HOW
? WHY
接線の方程式と
y=f(x) との共有点
のうち、接点以外の
点の座標が求まる
y=f(x) (1) で求め
×
連立方程式の解が、共有点の座標だから
た接線を連立する
で