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(2)
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
指針 p.123 基本例題 74と同じように, 計算がらくになる工夫をする。1000
座標の工夫 ① 座標に0を多く含む
000
基本 74
2 対称に点をとる
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから,各辺の中点の座標に分
数が現れないように, A (2a,26),B(-2c, 0) C(2c0) と設定する。
なお,本間は三角形の外心の存在の, 座標を利用した証明にあたる。
3章
解答
∠Aを最大角としても一般性を失
わない。このとき, ∠B<90°
ZC <90° である。
ya
注意 間違った座標設定
A(2a, 2b)
例えば,A(0,6),B(c, 0),
C-c, 0) では,△ABC
直線 BC をx軸に、 辺BCの垂直
NO
M
二等分線をy軸にとり, △ABC
K
B
C
の頂点の座標を次のようにおく。3, -2c OL
は二等辺三角形で、 特別な
三角形しか表さない。
座標を設定するときは
2cx
A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0)
ただし
また,∠B90°,∠C<90° から, a=c, a≠ーである。
更に,辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL,M,Nとす
ると,L(0, 0),M(a+c, b), N(a-c, b) と表される。
辺AB の垂直二等分線の傾きを とすると, 直線AB の
a≧0,b>0,c012028 2020 (1線の方程式を使
用するから、 (分母) 0
とならないように、この
条件を記している。
一般性を失わないように
26+0
2010)
なければならない。
傾きは
b
atc
であるから, mo =-1より
b
atc
m=-
よって, 辺 AB の垂直二等分線の方程式は
0-26
b
-2c-2a a+c
N(a-c, b)を通り,
1 直線の方程式、 2直線の関係
y-b=-a+c (x-a+c)
傾きQ+c
の直線。
AJ
b
すなわち
y=-
-x+
a+c a2+b2-c
b
曲
-c とおいて
a-c
y=-b
辺 AC の垂直二等分線の方程式は,①でcの代わりに
a2+b2-c2
b
辺ACの垂直二等分線
x+
②
は,傾き
b
a-c
の直線
2直線①②の交点をKとすると,①,②のy切片はと
a+b2-c2
もに
であるから K(0,
K(0, a²+b²-c²)
点Kは, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
b
ACに垂直で,点
M(a+c, b) を通るから、
①でcの代わりに-c
とおくと,その方程式が
得られる。
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
