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基本一 116 ある区間で常に成り立つ不等式
のすべてのxの値に対して, 不等式 x²2mx+m+6>0が成り立つよ!
[類 奈良大 ]
指針 例題 115 と似た問題であるが, 0≦x≦8 という制限がある。 ここでは
「0≦x≦8 において常にf(x)>0」 を (0≦x≦8 におけるf(x) の最小値)>
と考えて進める。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
うな定数mの値の範囲を求めよ。
求める条件は、0≦x≦8 におけるf(x)=x²-2mx+m+6のf(x)
最小値が正となることである。
f(x)=(x-m)-m²+m+6であるから. 放物線y=f(x) の
軸は直線x=m
[1] m<0 のとき, f(x)はx=0で最小
となり, 最小値は (0)=m+6
ゆえに m+6>0
m<0であるから
-6<m<0 ----...
[2] 0≦m≦8のとき, f(x)はx=mで
最小となり、最小値は
f(m)=-m²+m+6
ゆえに −m²+m+6>0
すなわち²m-6<0
これを解くと､ (+2)(m-3) <0 から
よってm>-6
0≦m≦8であるから
-2<m<3
0≤m<3 ---- ②
[3] 8kmのとき, f(x)はx=8で最小
となり, 最小値はf(8)=-15m +70
ゆえに,-15m+70> 0 から m</1/24
mく
3
【POINT
これは8<m を満たさない。
求めるm の値の範囲は, ①, ② を合わ
せて
-6<m<3
[2]
[3]
f(x) の符号が区間で一定である条件
区間でf(x)>0
区間でf(x)<0
X
[区間内のf(x) の最小値] > 0
[区間内のf(x)の最大値] <
αは定数とし, f(x)=x²-2ax+a+2 とする。 0≦x≦3の
116 常にf(x>0 が成り立つようなαの値の範囲を求めよ
本町
=x²-2mx+m+6
(0≦x≦8) の最小
を求める。
→ p. 140 例題82
同様に、軸の位置が
区間 0≦xs8の左外
か内か、右外かで
合分け｡
[1] 軸は区間の左外
にあるから、区間
の左端で最小
[2] 輪は区間内に
あるから頂点で
最小
[3] 軸は区間の右外
にあるから、 区間
の右端で最小。
(*) 場合分けの条件を
かどうかの確認
を忘れずに。 [1], [2]
では共通範囲をとる。
合わせた範囲をと
