例題28整数の問題
(1) 連続する2つの整数の2乗の差は奇数であることを証明しなさい。
(2))7でわると余りが1である自然数A と, 7でわると余りが4である白
然数Bがある。A°-B°を7でわったときの余りを求めなさい。
(1) 連続する2つの整数を式で表すと n, n+1 (nは整数)
その2乗の差(n+1)*ーnが奇数 (2m+1の形, mは整数)になることを示す。
2 7でわると余りがえである整数を式で表すと
7n+k(nは整数; k=0, 1, 2, , 6)
たとえば、A=15, B=11 とすると
A-B=15°-11°=225-121=104=7×14+6
余り
この A, Bを文字式で表して、 同じように考えてみる。
解答
(1)証明 連続する2つの整数は, nを整数として, n, n+1と表される。
(n+1)?-n=n。+2n+1-n°g8.0-6
その2乗の差は
=2n+1
となり、これは奇数である。
よって,連続する2つの整数の2乗の差は奇数である。終
(2) A, Bは,m, nを0以上の整数として, A=7m+1, B=7n+4 と表される。
A°-B°=(7m+1)?ー(7n+4)
=7°m°+2×7m×1+1°-(7°n+2×7n×4+4°)
=7°m°+7×2m-7°n?ー7×8n-15
=7(7m°+2m-7n-8n-3)+6
よって
一異なる文字を使う。
イ-15=7×(-3)+6
破線部分は整数であるから, A°-B°を7でわったときの余りは
6 容
