●練習
266
(1) 4n+2 と 7n +8 の最大公約数が18になるような50以下の自然数nをすべて求め
よ.
(2)2つの自然数m,nの最大公約数と5m+7, 2m +3 の最大公約数は一致すること
を示せ.
(1) 7n+8=(4n+2)×1+3+6
4n+2=(3n+6)×1+n-4
3n+6=(n-4)×3 +18
ここで, 4n+2 と 7n+8 の最大公約数は n-4と
18 の最大公約数に等しい。
n-418の最大公約数が 18 となるのは, n-4 が
18の倍数のときである.
n は 50 以下の自然数より, 1≦x≦50
したがって,
-3≤n-4≤46
この範囲において, 18の倍数n-4 は, 0, 18,36
よって, n-4=0, 18,36より, n=4,22,40
(2) 5m+7n=(2m+3n) x2+m+n
2m+3n=(m+n)×2+n
Ka=bgtr の形の変形を,r
が定数項のみになるまで続け
る.
m+n=nx1+m
よって、2つの自然数m,nの最大公約数と5m+7m,
2+3nの最大公約数は一致する.
6=yll+TS
-0.2
150以下の自然数という条件
から, n-4の値の範囲を定
める.