Question

花京院

（2）が解説を読んでも分かりません。教えていただけると助かります🙇‍♀️
3行目までは分かるのですが、なぜそこから4行目に繋がるのかが分かりません💦

●練習
266
(1) 4n+2 と 7n +8 の最大公約数が18になるような50以下の自然数nをすべて求め
よ.
(2)2つの自然数m,nの最大公約数と5m+7, 2m +3 の最大公約数は一致すること
を示せ.
(1) 7n+8=(4n+2)×1+3+6
4n+2=(3n+6)×1+n-4
3n+6=(n-4)×3 +18
ここで, 4n+2 と 7n+8 の最大公約数は n-4と
18 の最大公約数に等しい。
n-418の最大公約数が 18 となるのは, n-4 が
18の倍数のときである.
n は 50 以下の自然数より, 1≦x≦50
したがって,
-3≤n-4≤46
この範囲において, 18の倍数n-4 は, 0, 18,36
よって, n-4=0, 18,36より, n=4,22,40
(2) 5m+7n=(2m+3n) x2+m+n
2m+3n=(m+n)×2+n
Ka=bgtr の形の変形を,r
が定数項のみになるまで続け
る.
m+n=nx1+m
よって、2つの自然数m,nの最大公約数と5m+7m,
2+3nの最大公約数は一致する.
6=yll+TS
-0.2
150以下の自然数という条件
から, n-4の値の範囲を定
める.

数a 不定方程式

Answer 1

ひま

ユークリッドの互除法ですね
(最大公約数をgdcと表します)
1式目から見ていくと、この式は「5m+7nと2m+3nのgcd(=xとする)」と「2m+3nとm+nのgcd(=yとする)」が等しいことを表しています

理屈を確認すると、5m+7nも2m+3nも当然xの倍数ですから、m+nもxの倍数です
これはxは2m+3nとm+nの公約数ということを示しています
yは2m+3nとm+nの公約数の中で最大のものなのでx≦yです
次に反対から考えると、2m+3nもm+nも当然yの倍数ですから、5m+7nもyの倍数です
これもやはりyが5m+7nと2m+3nの公約数であることを表していて、公約数のなかで最大のものがxなんだからy≦xと言えます
この2つが成り立つのでx=yとなるわけですね

これが理解出来れば2式目では「2m+3nとm+nのgcd)」と「m+nとnのgcd」が、3式目では「m+nとnのgcd」と「nとmのgcd」が等しいことをそれぞれ表しています
要するに全部のgcdは等しいわけです