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例題 177 数列の和の不等式 足楨
① ③ より
log (n!) < (n+1)log(n+1)-n
... 4
★★★★
次に、②の右側の不等式において,
<
Slogxdx = log(k+1)
ここで
(EZ) = [xlogx-xdx
nlogn-n+1
= log2+log3+･+logn
= log(2･3･････n) = log(n!)
k=1,2,...,n-1 (n≧2)として辺々を加えると
logn
log2
01234-1 nx
log2 + log3+..+logn
>Slogxdx
(1) 自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。
nlogn-n+1≦log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n
(2) 次の極限の収束, 発散を調べ, 収束するときにはその極限値を求めよ。
log(n!)
lim
n-onlogn-n
(東京都立大)
思考プロセス
(右辺)
(1) 既知の問題に帰着
log(z!) = log1+ log2 + log3+…+logn=2logk 数列の和
k=1
よって nlogn-n+1 <log(n!
2.3.n
=1・2・・・
« Action 数列の和の不等式は, 長方形との面積の大小関係を利用せよ 例題176
この式に n=1 を代入すると (左辺 = 0, (右辺) = 0
であるから nlogn-n+1≦log (n!) ･･･ ⑤
= n!
y=logx
log (k+1)
+TV=2
logk
<
kk+1 kk+1 k k+1
logk < *'**' logxdx < log(k+1)
④ ⑤より, 自然数nに対して
nlogn-n+1≦log(n!) ≦ (n+1)log(n+1)-n
unit
右側の不等式の等号が成
(2)n≧3のとき,(1)の不等式の各辺を
り立つことはない。
k k+1 x
S
それぞれkをどのように変化させると logkが現れるか?
nlogn-n
例題
S
log(n!)
(2) Action 直接求めにくい極限値は、はさみうちの原理を用いよ 例題25
(1) より nlogn-n+1≦log(n) ≦ (n+1)log(n+1)-n
nlogn-n+1
nlogn-n nlogn-n
25
ここで, n→∞のとき (左辺) = 1+
(n+1)log(n+1)
1
nlogn
(n+1)log(n+1)-n
nlogn―n
・極限値が一致することを示す
(右辺)
1
1
nlogn-n=n(logn-1)>0で割ると
nlogn-n+1 log(n!) (n+1)log(n+1)-n
nlogn-n
logn
∞を考えるから、
n≧3 としてよい。
n3のとき、ne
より log" >1
(nlogn-n) +1
=1+
nlogn-n
nlogn-n
log(n+1)
= log{n(1+)}
|-logn+log(1+1/2)
nlogn-n
1
→1
n(logn-1)
(1) log(n!)=log1 + log2 + ･･･ +logn=
y=logx
logk ... 1
[例]
176
y =logx は x > 0 で単調増加するから,
k≦x≦k+1 において logk logx log(k+1)
等号が成り立つのは,x=k, k+1のときのみであるから
kk+1
k+1
k+1
k+1
logkdx < $logxdx < $log(k+1)dx
.k+1
logk < logx dx < log(k+1)
... 2
②の左側の不等式において, k = 1, 2,..., n として
辺々を加えると
②logk<logxdx
ここで
(右辺 = xl0g+1
X・
③
-dx
logn
log2
=(n+1)log(n+1)-n
x
(1+1/2)
logn
logn+log 1+
logn
1
logn
n
1
logn
(1+1){1+ .log 1+1)}-
n
logn
1
1. logn
logn
-→1
したがって、はさみうちの原理より, 与えられた極限は
収束し,その極限値は lim
log(n!) =1
- nlogn-n
練習 177k > 0, nを2以上の自然数とするとき
(1) logk < flogxdx < log(k + 1)が成り立つことを示せ。
(大阪大)
p.363 問題177
en+1
logxdx
(3) 極限値 lim(n!) log を求めよ。
(2)nlogn-n+1 <logk<(n+1)logn-n+1 が成り立つことを示せ。
012341nJx
n+1-
log1+ log2+logn
長方形の面積を加えたもの
320
