§9 ベクトル世界の正比例
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例 9.1
次の写像 F:R→R2 は,線形写像か.
線形写像
X1
(1) F:
IX2
3.1 +4.2
5.17.2
IC1
(2) F:
X2
[ ] - [ * * * ]
X1 X2
【解】(1) 行列で表わしてもよいが,このままの形で解答する.
X1
x=
X2
Y1
x+y/i
tx1
x+y=
tx=
x2+y2
tx2
とおくと,
3(201 + y/1) + 4(2x2 + y2)
3x1 + 4x2
3y+4yz
F(x + y) =
+
5(2x+y/1)-7(.x2+y2)
5.17x2_ 5y17y2
1)\\ = F(x) + F(y)
3tx14tx2
31+4C2
F(tx) =
=t
=tF(x)
5tx-7txz
5x17x2
よって,Fは線形写像の条件1, 2°を満すから, 線形写像である.
1
2
(2) たとえば, x=
のとき,2x ===
だから,
2
F(2x)
- [202]-[6]
2F(x)=2
-2[1]-[3]
よって, Fは条件 2° を満さないから, 線形写像ではない.
さて、次に,線形写像 F : R" → R" は,正比例関数 F(x) = Ax (A は
(m,n) 行列)に限ることを示そう。理屈は同じだから,簡単のため,
F:R' →R
の場合でやってみることにする。いま,基本単位ベクトル e, e の像を,
a11
F(ex)=
F(e2)=
[
a12
a21
a22