Question

ぱっぱ

【線形代数】(線型写像)
例⒐1(2)の問題についてです
青で囲んだ空欄埋めてほしいです
文字t、xで表すとどうなるか知りたいです。

§9 ベクトル世界の正比例
47
例 9.1
次の写像 F:R→R2 は,線形写像か.
線形写像
X1
(1) F:
IX2
3.1 +4.2
5.17.2
IC1
(2) F:
X2
[ ] - [ * * * ]
X1 X2
【解】(1) 行列で表わしてもよいが,このままの形で解答する.
X1
x=
X2
Y1
x+y/i
tx1
x+y=
tx=
x2+y2
tx2
とおくと,
3(201 + y/1) + 4(2x2 + y2)
3x1 + 4x2
3y+4yz
F(x + y) =
+
5(2x+y/1)-7(.x2+y2)
5.17x2_ 5y17y2
1)\\ = F(x) + F(y)
3tx14tx2
31+4C2
F(tx) =
=t
=tF(x)
5tx-7txz
5x17x2
よって,Fは線形写像の条件1, 2°を満すから, 線形写像である.
1
2
(2) たとえば, x=
のとき,2x ===
だから,
2
F(2x)
- [202]-[6]
2F(x)=2
-2[1]-[3]
よって, Fは条件 2° を満さないから, 線形写像ではない.
さて、次に,線形写像 F : R" → R" は,正比例関数 F(x) = Ax (A は
(m,n) 行列)に限ることを示そう。理屈は同じだから,簡単のため,
F:R' →R
の場合でやってみることにする。いま,基本単位ベクトル e, e の像を,
a11
F(ex)=
F(e2)=
[
a12
a21
a22

例9.1
次の写像F:R2.
→
(1)
F:
7
x2
F(x+y) =
F(tx)
No.
F(2)+P(4)
=t(x)
'}
が成立したら
Date
線形写像
R2は線形写像か
3x+4x2
5x1-7x2
76=
K
K2
/
y=
72
xity,
x+y=
kxz+yz
txl
[tx
tx,
txe
をおくと
F(x+3)=
F(x)+F(g)=
F(tx)=
[3(241+1)+4(x2+\)\
3(xity)
5(xity.)-7(水xty2
13x+4×2
5x1-7x2
3tx+4txz
3x1+4x2
5x1-722
3y, +42
+
57, -742
3g1+9y2
5g1-7gz
321+4%2
=
t
=
tF(x)
57x1
-
-7+xz
5x1-772
よって、Fは線形写像の条件12を満たすから、線形写像
x
xx2
F:
ト
22
0
F(tx)=
tF(x)=
x=
[
F(tx)=
tF(x) =
よって
のとき
[22-6
2[一周
r
F1
=
は条件2°を満たさないから、線形写像ではない。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲストN

1つ目の青で囲まれた式は、x_1をtx_1に変えて、x_2をtx_2に変えて計算してみてください。